1. 引言与预备知识
匈牙利数学家A. Csaszar 2002年在文献 [1] 中提出广义拓扑空间的概念,并且对广义拓扑空间的性质进行研究,此后不少学者也积极投入,例如文献 [2] - [9],在广义拓扑空间的点集性质、映射性质以及收敛性质等方面取得了一系列的研究成果。由于广义拓扑实际上是一类半拓扑,2015年文献 [10] 把广义拓扑重新命名为上半拓扑,进而引入了下半拓扑的概念,并且获得了关于下半拓扑中的一些很有意义的结果,在此,一个问题自然地被提出:
问题 能否类比文献 [10],将拓扑定义中(O1)、(O2)、(O3)三个条件(参见文献 [11])重新组合,将其重新分成两个半拓扑(左半拓扑和右半拓扑),进而得到一些比拓扑空间理论更弱的一些数学结果?
关于这个问题,文献 [12] [13] [14] [15] 做了一些工作。本文将在文献 [15] 的基础上对L-半拓扑进行更进一步研究。主要讨论了L-半拓扑空间中的点集性质、L-半拓扑的比较、L-半拓扑基。
下面是文献 [15] 引入关于L-半拓扑空间的一些基本概念。
1) 设X是任一非空集合,
是X的一些子集构成的集族,如果下列条件被满足:
(O1)
;(O2) 若
,则
(其中
为任意指标集)。则称
为集合X的L-半拓扑,并且称有序偶
为一个L-半拓扑空间,集族
中的每一个集合都称为L-半拓扑空间
的L-开集。
2) 设
为L-半拓扑空间,
,如果
,使得
,则称U为点x的一个L-邻域,x点邻域的全体称为点x的L-邻域系,记作
,并称
为由L-半拓扑
导出
的X的L-邻域系。
3) 设
为L-半拓扑空间,
,若
(即
,使得
),则称点x为点集A的L-内点。点集A的内点的全体称为A的内部,记为
或
。
4) 设
为L-半拓扑空间,
,如果
,有
,则称x为点集A的L-聚点,点集A的聚点的全体称为A的L-导集,记为
。
5) 设
为L-半拓扑空间,
,记
,则称
为A的L-闭包。
6) 设
为L-半拓扑空间,
。若
,则称F为X的L-闭集。
7) 设A为X中任意非空子集,并记
,则
为A上的一个L-半拓扑,为此,称
为X上L-半拓扑
的一个子拓扑。其中
称为是
的L-半拓扑子空间,
为了方便,常常简称A为X的L-子空间。
如果没有特别声明,本文所涉及的一切概念、记号等都取自于文献 [15] 或者文献 [11]。
2. 关于L-半拓扑空间中的基本点集
首先,在文献 [15] 的基础上,我们有如下进一步的结果:
定理2.1 集合Χ上的任意两个L-半拓扑的交也是Χ上的一个L-半拓扑;集合Χ上的任意两个L-半拓扑的并不一定是Χ上的一个L-半拓扑。
证明:因为
且
,则
;
,有
且
,则
且
,故
。因此两个L-半拓扑的交仍是Χ上的一个L-半拓扑。
下面用反例说明:集合Χ上的任意两个L-半拓扑的并不一定是Χ上的一个L-半拓扑。
事实上,可取
,
,
,则
。显然,
,故
不是一个L-半拓扑。
定理2.2 设
为L-半拓扑空间,
,则(1)
当且仅当
;(2)
必为闭集;(3)
等于包含A的一切L-闭集的交。
证明:1) (必要性) 因为
,则对
,
,使得
,故x是A的L-内点,所以,
。又因
,故有
;(充分性)
,即x是A的L-内点,故
,使得
。因此,
。又因
,故
。
2) 反证:若
不是闭集,则由文献 [15] 定理2.5,有
;但又由文献 [15] 定理2.4的(LC3),有
,这就产生矛盾。所以,
必为闭集。
3) 因为
是L-闭集并且
,则
;反过来,还需证明:
,即需证:任何包含A的L-闭集F,必有
。事实上,如果存在L-闭集
,但
,则
。取
,因为
,所以
,故
。这与
矛盾。即
,从而
。
下面是关于子空间的一个结果:
定理2.3 设A为X的L-子空间,B为A的L-子空间,则B为X的L-子空间。
证明:设
为X上的一个L-半拓扑并且
,我们只需证明
。事实上
,
,使得
。又对于
,
,使得
。从而
。所以
。
反过来,
,
,使得
,即
使得
,即
。从而
。因此
是
的L-子空间。
作为这一节最后,我们用下面例子说明:点x的L-邻域,未必一定是包含x的L-开集:
例2.4 设
,容易验证:
是X上一个L-半拓扑,且
为点 的一个邻域,但U不是L-半拓扑空间
中的L-开集。
3. L-半拓扑的比较
定义3.1 设
是Χ上的两个L-半拓扑,如果
,则称
是比
更粗的L-半拓扑,或称
是比
更细的L-半拓扑。
定理3.1 设
是Χ上的两个L-半拓扑,
与
分别为 关于
与
的邻域系,则
是比
更粗的拓扑当且仅当
,
,
使得
。
证明:(必要性) 设
,
,
,
,使
,因为
,故
,有
。
(充分性)
若
,则
有
。由已知,
,有
。因此
,使得
,所以
,从而
。
推论3.2 设
是Χ上的两个L-半拓扑,若
,
和
分别是关于
和
的全体闭集构成的集族,则
是比
更粗的L-半拓扑当且仅当
。
证明:(必要性)
,有
,因
,则
,故
,从而
。
(充分性) 对于
,有
,因
,则
,故
,因此
,故
是比
更粗的L-半拓扑。
定理3.3 设
是Χ上的两个L-半拓扑,若
,则
,有
。反之,结论不成立。
证明:1) 设
,对于
,
,
,使得
。因为
,则
并且
,故
,所以
。
2) 反之,可取
,
,
,则
是Χ上的两个L-半拓扑,由L-半拓扑空间中邻域的定义有
,
,故
又
,
,故
,因此
,但是
。
推论3.4 设
是Χ上的两个L-半拓扑,若
,则
,有
。反之,结论不成立。
证明:1)
,
,使得
,又
,因此
,使得
,则
。
2) 反之可取
,
,
,
,则
,
,有
,但
,故反之结论不成立。
推论3.5 设
是Χ上的两个L-半拓扑,若
,则
,有
。反之,结论不成立。
证明:1)
,对于
,有
,又
,故
,有
,则
,因此
。
2) 反之可取
,
,
,
,则
,
显然有
,但
,故反之结论不成立。
推论3.6 设
是Χ上的两个L-半拓扑,若
,则
,有
。反之,结论不成立。
证明:由推论3.5可知若
,则有
,又
,
,由此可得
。
反之可取
,
,
,
,则
,
显然有
,但
,故反之结论不成立。
4. 关于L-半拓扑基以及L-半拓扑基的一些性质
定义4.1 设
是L-半拓扑空间,
,如果
,存在
,使得
,则称 为L-半拓扑
的一个基,
为Χ的一个L-拓扑基。
定理4.1 设
是一个L-半拓扑空间,
为L-半拓扑
的一个基当且仅当
,
,
,使得
。
证明 (必要性) 设
为
的一个基,即
,
,
,使得
,故
,
,使得
。
(充分性)
,因为
,
,使得
,故
,由定义可知
为
的一个基。
在一般拓扑空间中有:
定理4.2 [11] 设
是一个拓扑空间,
为
的一个基,则
满足下面两个条件:(B1)
;(B2)
,
,必
,使得
。
这两条性质在一般拓扑空间中成立,但在L-半拓扑空间中(B1)成立,(B2)不成立。
在L-半拓扑空间中,(B1)成立是不言而喻的。但是,(B2)是不成立的,下面举例子说明这个问题:
取
,
,则
,存在
,
,
,即不存在
,使得
,故(B2)不成立。
5. 小结
本文首先引入L-半拓扑的概念,然后讨论了L-半拓扑空间的中点集理论、L-半拓扑子空间的性质、L-半拓扑基的性质以及L-半拓扑的比较,并且获得了一些相应的成果,从而,使L-半拓扑的基本性质得到推广。同时,也通过反例举出了在拓扑空间上成立而在L-半拓扑空间中不成立的一些结果。