1. 引言
近世代数是本科数学系的专业基础课,它是现代数学的重要基础,主要研究群、环、域等代数结构。近世代数着重培养学生的抽象思维方式,即如何从具体的数学研究对象中提炼出它们的本质(群、环、域的定义),并且从这些本质的共性中推导出其它共性,如何对研究对象进行分类,以及学会不同研究对象之间的比较方式等 [1] [2] [3] [4]。这些思考方式的训练不仅对整个数学领域是重要的,对于其他学科也是基本的,而且随着数字计算与通信的发展,近世代数已成为通信与计算机科学的重要工具 [5] [6] [7]。近世代数作为一门基础课程,一方面课时少并且没有后续课程,不少学生只是听到一些莫名其妙的定义和定理,做一点形式逻辑的推导,没有领会到这门课程的真谛;另一方面,该课程概念众多,理论知识多以证明为主,主要是符号的运算,具有高度的抽象性。因此,学生学习和掌握的效果并不让人十分满意。近年来,如何提高近世代数的教学效果成为了教育工作者的研究内容 [8] [9]。然而笔者在教学中发现,将近世代数与高等代数 [10] [11] 的知识联系起来进行教学的效果还不错,例如向量空间与交换群,向量空间的同态与群同态,向量子空间的直和与群的直和,不可约多项式与不可约元等。这种类比与呼应,有利于学生对抽象理论的理解,使学生认为近世代数是有用、有趣且不是那么困难的。本文结合实例介绍高等代数在近世代数教学中的应用,希望能起到抛砖引玉之用。
2. 在群论中的应用
群的公理化定义对于刚接触近世代数的学生来说较抽象,而高等代数中的多项式、矩阵、向量空间及有限维向量空间上的线性变换等为群提供了丰富的例子。例如,复数域C上全体n阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成群
(称为一般线性群),C上行列式为1的n阶矩阵全体关于矩阵的乘法构成群(称为特殊线性群),和C上n维向量空间的可逆变换关于线性变换的合成构成群等。以下通过具体的例子说明高等代数在群论中的应用。
例1:在
中,
试计算
的阶。
分析:矩阵
的阶直接计算可得。注意到矩阵AB的阶通过直接计算行不通,可运用高等代数的知识解决。
解:首先,直接计算可得
其中E为单位矩阵,故矩阵A的阶为3,矩阵B的阶为4。下面讨论矩阵AB的阶。有
容易算出,AB的特征多项式
显然,
也是AB的极小多项式。如果AB是有限阶的,则存在正整数n,使
。从而
是AB的零化多项式,于是应有
(1)
另一方面,
有重根
,而
至多是
的单根,所以
不能整除
,与(1)式矛盾,这说明AB不可能是有限阶的,即AB的阶为无限。
例2:试证一般线性群
不含有指数有限的真子群。
证明:反证法。假设H是
的指数有限的真子群,且
,其中
为H在G中的指数。考虑G在H的左陪集集合上的左诱导作用,则有群同态
其中
为m次对称群,则有
,
为群同态
的核,
为商群
中元素个数。设
。一方面,对于任一
,有
。另一方面,由高等代数知,对于任一
和任意正整数t,存在
使得
。因此,对于任一
,有
。于是
,即
,矛盾!证毕。
3. 在环论中的应用
环是一类具有两种运算的代数系统。高等代数中复数域C上的全体多项式的集合
,C上全体n阶方阵的集合以及C上向量空间的全体线性变换的集合关于通常的加法和乘法都构成环。此外,环论中唯一分解整环推广了算术基本定理,欧几里得整环推广了带余除法定理,主理想整环推广了最大公因子的表示定理。以下通过具体的例子说明高等代数在环论中的应用。
例3:
为
的极大理想。
证明:在
中,设I为任一真包含
的理想。在I中任取一个不属于
的多项式
,由高等代数带余除法知存在
,
,使
从而
因
,从而
不全为零。若
,则
,且
则
由此得。若,则且,于是,从而。证毕。
例4:如果是整环D的中两两相异的个元,是D中任意个元,则在中至多存在一个次数小于等于n的多项式,使得。
证明:只需证明:若有一个次数小于等于n的多项式,使得,则。
设具有这种性质,则
用A代表这个系数矩阵,则A是Vandermonde矩阵,因两两相异,故。从而,,即,证毕。
注:当D为域时,上述多项式是存在的且能唯一表示出来。
4. 在域论中的应用
域是许多数学分支研究的基础,研究域最基本的方法是对域进行扩张。设E为F的扩域,则域E可以看作其子域F上的向量空间,则高等代数中向量空间的概念、理论与方法都可以移植到域上。下面通过具体的例子说明高等代数在域论中的应用。
例5:设。
1) 证明:在有理数域Q上不可约。
2) 若为的一根,试求单扩域中元素用表示的线性表达式;再求中元素在中的逆元。
证明:1) 若在Q上可约,则由高等代数知必在整数环Z上可约,从而有整数根,且此整数根是1的因数,即只能是。但显然都不是的根,因此在有理数域Q上不可约。
2) 由于为的一根,故是Q上的3次代数元,且是在Q上的最小多项式。因此,
且为在Q上一组基。令,并用去除,得
由于,故由上式得
这就是用表示的线性表示式。
再令,由于在Q上不可约,故显然
于是存在Q上多项式使
(2)
根据高等代数中的辗转相除法,易知
将代入(2)式,由于,故可知在中的逆元是
5. 总结
综上,高等代数不仅为近世代数提供了直观的例子,而且更能对其中的问题进行实质刻画,很多问题都可以利用高等代数的知识解决。本文只是给出高等代数在近世代数中的几点应用,更多的应用仍值得进一步研究。在近世代数教学中,将这种学科之间的紧密联系展现给学生,会极大地激发学生的学习兴趣和积极性,从而提高教学质量和教学效果。
基金项目
本文工作得到国家自然科学基金项目(11801363)和上海海事大学文理学院重点课程建设项目(2018) 资助。