1. 引言
随着分数阶微分方程在物理、化学、工程、生物科学等领域的应用不断推广,国内外各界学者开始广泛关注分数阶微分方程 [1] [2] [3] [4] [5];近几年,越来越多的学者利用各种不动点定理及其它工具,研究了带有各种边值条件的分数阶微分方程解的存在性与唯一性,取得了很多重要的成果 [6] [7] [8] [9]。但有关奇异分数阶微分方程边值问题的研究并不太多。文献 [10] 运用混合单调算子方法和半序集合上的不动点定理证明了奇异Caputo型分数阶微分方程边值问题
正解的存在性,这里f在0和1点是奇异的。文献 [11] 利用Krasnoselskii不动点定理研究了奇异分数阶微分方程系统边值问题
正解的存在性,这里f在0点是奇异的。文献 [12] 利用上下解方法和Schauder不动点定理讨论了分数阶边值问题
正解的存在性,这里f在0和1点是奇异的。
受以上文献的启发,本文将用Krasnoselskii不动点定理和Banach压缩映射原理,研究下面一类带积分边值的奇异分数阶微分方程
(1.1)
正解的存在性,并进一步确定其唯一性。其中
是Riemann-Liouville型分数阶导数,
连续,
,
,
,
(即f在
点奇异),q是
上的非负有界连续函数。
2. 预备知识
在本文的讨论中我们应用了分数阶微分方程的一些基本定义及结论。可以参见文献 [3] [13] [14] [15]。
定义2.1 [3] [15] 函数
的
阶
Riemann-Liouville分数阶积分定义为:
其中f使得上式右侧在
是逐点有定义的,
是通常的Gamma函数。
定义2.2 [3] [15] 函数
的
阶
Riemann-Liouville分数阶微分定义为:
其中
,
表示实数
的整数部分,f使得上式右侧在是逐点有定义的。
引理2.1 [3] [15] 设且f的阶分数阶导数属于,那么
其中,其中n是不小于的最小整数。
本文在证明分数阶微分方程正解的存在性时,利用Krasnoselskii不动点定理。
引理2.2 (Krasnoselskii不动点定理)设E是Banach空间X的有界闭凸集,S与T为X上的算子,使得
(i) 当时,有,
(ii) S是全连续算子,
(iii) T是压缩映射,
则存在,使得。
引理2.3 (Arzela-Ascoli定理)假设函数族在区间上是一致有界和等度连续的,则存在子函数序列在区间上是一致收敛的。
本文在证明分数阶微分方程正解的唯一性时,利用了Banach压缩映射原理。
引理2.4 (Banach压缩映射原理)假设D是Banach空间E的非空闭子集,是压缩算子,即对任意的,有
.
则存在唯一的,使得,即T在D内存在唯一的不动点。
3. 正解的存在性
定义是Banach空间的一个正规锥,E的范数是,定义为:。我们有如下假设:
令连续,假设在上连续,记。
存在常数,使得:
存在正函数,使得:
,。
我们先给出边值问题(1.1)的解的存在性定理:
定理3.1假设,成立,且有,则边值问题(1.1)至少存在一个正解。
为了证明定理3.1,我们先给出下面三个重要的引理。
引理3.1 若,,分数阶边值问题
(3.1)
有唯一解,可以表示成:
其中格林函数
(3.2)
证明由引理2.1,方程(3.1)等价于积分方程:
其中,由边值条件,可得。则
由得:
则边值问题(3.1)的唯一解为:
由引理3.1可知,边值问题(1.1)等价于积分方程
引理3.2由(3.2)式定义的格林函数具有下列性质:
(1),对;
(2),对。
证明 (1) 当时,有,又由,知
当时,显然有
即。
(2) 对,有
引理3.3设连续,,假设在上连续,则函
数在上连续。
证明由条件易得。下面分三种情况讨论:
情形一:。对,由于,存在正数M,使得,则
情形二:。对,
情形三:。对,证明类似于情形二,此处省略。
接下来我们证明定理3.1:
证明 第一步:证明当,有。
令。在上定义两个算子和,其中:
对,有:
从而
则对于,有。
第二步:证明是上的压缩映射。
因为,所以对于任意的,有
由,得到。又对任意的,有:
又由可得是上的压缩映射。
第三步:证明是全连续算子。
对每一个,有:
所以
从而可得。
设,由在上是连续的,故在上是一致连续的,因此,对,当时,使得
显然,若,则对,有
从而有:
由的任意性,可知连续。令有界,即存在一个正常数a,使得对,有。又在上连续,由上述证明可得一致有界。
再证等度连续。对,取
则对,不妨设,使得,有:
接下来,证明分为两个部分:
(i) 若,
(ii) 若,
所以等度连续。由Arzela-Ascoli定理,可知是全连续算子。通过以上证明过程可知Krasnoselskii不动点定理的条件皆满足,从而边值问题(1.1)至少存在一个正解。
4. 正解的唯一性
现在,我们给出分数阶微分方程边值问题(1.1)正解的唯一性结果:
定理4.1 如果,,,成立,且
那么边值问题(1.1)有唯一正解。
证明令。
定义:
则。对,证。
即,则有。现在,对,有:
由条件
知F是压缩算子,则由Banach压缩映射原理知,问题(1.1)有唯一的正解。
5. 应用举例
考虑以下带积分边值的奇异分数阶微分方程
(5.1)
其中,,。易知连续, (即f在点奇异),q是上的非负有界连续函数。找到常数使得:
同时有,使得
即满足定理3.1,所以问题(5.1)至少存在一个正解。进一步的,当足够小时,可以满足。于是由定理4.1可知,此时问题(5.1)有唯一正解。
致谢
作者对审稿人提出的宝贵意见和编辑老师的工作表示衷心的感谢。
基金项目
本文受国家自然科学基金项目(NSFC11501260),江苏高校优势学科建设工程项目(PAPD),江苏高校品牌专业建设工程资助项目 (PPZY2015A013)和江苏省大学生创新创业训练计划项目(201810320015Z)资助。
NOTES
*通讯作者。