1. 引言
微分中值定理是微分学的核心定理之一,是讨论怎么由导数的已知性质来推断函数性质的有效工具。对于微分中值定理已经有较为深刻的研究,从一元到多元,从一次到高次都有研究。如 [1] 给出了二维Cauchy型中值定理。
定理1.1 函数
在闭凸区域
上连续,在开区域D上具有连偏导数,且
,
为D内任一点,则对D内任意两点
,至少存在一点
(联结
的线段上一点
),使得
。
而对于微分中值定理的逆问题,也有很多文献做了研究。 [2] 研究了一类单变量Cauchy型微分中值定理的逆命题:
定理1.2 函数
在
上可导,
,且当
,
时,有
(或
),则存在点
使得
1) 当
时,存在唯一的
,使得
;
2) 当
时,存在唯一的
,使得
。
本文旨在研究多元微分中值定理的逆命题。在这一方面 [3] 证明下述定理。
定理1.3 设
是有界闭凸域,二元函数
在D上连续,在D的所有内点都有关于x、y的连续偏导数,且
是D上的严格凸函数,则
,在任意通过此点的直线段上,总能找到两点
,
,使得
。
2. 主要结果
从定理1.2中我们可以提出它的逆命题,即:
函数
在闭凸区域
上连续,在开区域D上可微,且
,
为D内任一点,对任意一点
,则在D内任意通过该点的线段
上,总存在两点
使得
。
这个逆命题是不成立的。如设
,
,
,
,
可以验证当
是平行于x轴的线段且
靠近0时,上面的结果不正确。即这样的柯西中值定理的逆命题并不成立,所以我们需要适当的加强条件来使之成立。下面定理为本文的主要结果。
定理2.1 设函数
在闭凸区域
上可微,且
。假定
(
),
(2.1)
或
(2.2)
则当
,
(
)在
上,存在点
使得
1) 当点
,存在唯一的
,使得
;(2.3)
2) 当点
,存在唯一的
,使得
。 (2.4)
证明:不妨假定(2.1)成立,因为(2.2)的情况类似可以证明。现在我们将分两种情况对它进行分类讨论。
1) 第一情况:直线段
与x轴或者y轴平行,即直线段MN上的点横坐标或者纵坐标相等。不失一般性,假定
与x轴平行,也即
。记
。此时我们可以把二元函数转换为一元函数,使得问题变得更加方便。这时我们要证明的是存在唯一的
,
,记
为
,使得
a) 当
,存在唯一的
,使得
;
b) 当
,存在唯一的
,使得
。
令
。由条件(2.1)可知如果
,那么
。
于是由定理1.2可知(2.3)和(2.4)成立。
2) 第二种情况:
、
横坐标或纵坐标都不相同的情况。此时我们对坐标轴进行平移,使得原来的坐标轴
移动到以
为原点的坐标轴并记为坐标轴
,使得新的x轴与y轴与原先的平行且同向。此时新的坐标轴
上的点
在坐标轴
上就可以表示成
。接着我们旋转坐
标轴
使得直线段
可以与横坐标轴重合,记逆时针旋转的角度为
(
),记新的坐标轴为
。此时在
上的点
在
上的坐标为
。这样坐标系
和坐标轴
上同一点的坐标
和
的关系可以表示成
,
。
由于此时直线段
与
轴重合,故线段
的纵坐标
,我们记
, (2.5)
。 (2.6)
经过坐标变换,我们将复杂的情况转化成了简便的情形来处理。接下来我们将证明
在
上都可导且当
时,有
。
我们先证明
在
上都可导。由于函数
可微,故对
求导可以得到
; (2.7)
。 (2.8)
由题意易知
。下面我们证明当
时,
。
记
,
,则
。根据条件(2.1)有
,
也即
。
故
。
现在由定理1.2可知存在唯一的
,
,使得
a) 当
时,存在唯一的
,使得
;
b) 当
,存在唯一的
,使得
。
现在将(2.5)、(2.6)及(2.7)、(2.8)代入到上面的(a)、(b)就可得到定理。
注1 1) 在定理2.1中如果设
,
,
,则定理2.1即为定理1.2。
2) 在定理2.1中如果设
,那么(2.1)变为
; (2.9)
(2.2)变成
。(2.10)
当f是严格凸函数时,(2.9)成立;当f是严格凹函数时,(2.10)成立。故定理2.1是定理1.3的改进。
NOTES
*通讯作者。