1. 引言
在试验设计中,令R表示设计利益区域,X是区域R内任一点,回归模型一般形为
其中
是由模型决定的函数向量,y是响应观测值,而
是模型中的待估参数,
是误差,通常假设
,
,
是已知的。
如果用
表示测度设计
的信息矩阵,所谓的D-最优准则就是使得
的行列式达到最大,而且测度设计
是D-最优设计的充分必要条件 [1] [2] 是方差函数
(模型中待估参数的个数)。
2. 二元二次多项式回归模型的最优设计
多元多项式回归模型可以用来处理一大类非线性问题,在应用数理统计学中占有重要地位。这里讨论的二元二次多项式回归模型
(1)
这里因子空间是圆域
,在模型中含有五个待估参数,我们尝试用圆域上的五个设计点去进行饱和设计,同时使得这些设计点的结构既要对称 [3] ,同时分布又很均匀 [4] ,即所谓的“对称 + 均匀”原则。
对模型(1)的饱和设计
的基本思想是:先取圆周的任意内接正方形的四个顶点和圆心组成的五点设计,不妨取圆心为坐标原点,两个互相垂直的直径分别为x轴,y轴,设五个设计点分别是
,
,
,
,
。
而且采用测度设计,记每个顶点的测度为
,圆心的测度为
,即测度矩阵
,其中
。
可将模型(1)的函数向量改写为
设饱和设计
的结构矩阵为X,
,
相应设计
的信息矩阵为
,利用
,则
要寻求模型的D-最优设计,即使得行列式
取最大值的设计,而
令
,则有效驻点是
,
,
这两组驻点能使得
取最大值的,只有在驻点
,
时达到,此时
,此时
,说明测度设计是均匀的,设计点呈对称结构,它们是
,
,
,
,
。
下面证明上述五点设计对模型(1)是D-最优设计,由前文知,只要能验证
。
此时
,
在区域
的极大值情况为
① 在
的内部
,由
,则
,
,
,
② 在
的边界
,有
,当且仅当在
的时候取最大值。
由①②知道方差函数,即正定二次型d的最大值是5 (等于模型中的待估参数的个数),而且当且仅当在上述设计点处才取得最大值,这就证明了所采用的饱和均匀的等测度设计是D最优设计。
3. 模型参数的最小二乘估计
由于模型(1)的待估参数向量为
,模型(1)可以记为
由最小二乘估计公式 [5]
(2)
这里列向量
,其中
表示第i次试验的响应观测值。把上述的
的结果代入式(2),则得到
的最小二乘估计为
。