由一道习题谈子群的乘积是子群的判定条件

The Subgroup’s Judgment Conditions Based on Subgroup Product from an Exercise

摘要: 由于有限群G的子群的乘积不一定是G的子群，如何判断子群的乘积为子群是一个值得探讨的问题。我们将从一道课后习题出发，来探索有限群的子群的乘积是子群的判定条件，重点推导一个群的两个子群的乘积是子群的判断条件，并将子群个数推广到三个的情形。

Abstract: Since the product of a subgroup of a finite group G is not necessarily a subgroup of G, how to judge the product of a subgroup as a subgroup is a question worthy of discussion. Starting from an after-class exercise, we will explore that the product of two subgroups of a finite group is the judgment condition of the subgroup, mainly deduce that the product of two subgroups of a group is the judgment condition of the subgroup, and generalize the number of groups to three cases.

1. 引言

群是近世代数中最基本的内容之一，群在集合上的作用是群论中的重要概念，并且在组合计数上有着广泛的应用。群是带有代数系统的非空集合，是一种最简单、最基础的代数结构。群概念在1870年左右形成并牢固建立，现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。我们知道，研究群的最大目的就是要把所有的抽象群都找出来。为此，我们常把群分成若干类，看每一类有多少个不同的群，但到目前为止，完全弄清楚的只有少数几类，其余的大多数群有待我们去解决。而利用一个群的子群的性质来推测整个群的性质，是研究群的一般方法。

众所周知，群的子群的乘积一般不是子群，例如，在三次对称群S₃中， $H=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{12}\right)\right\}$ ， $$ ， $HN=\left\{\left(1\right),\left(13\right),\left(12\right),\left(132\right)\right\}$ 不是子群，但是也有一些子群在满足一定条件下，其子群的乘积为子群。例如，在张禾瑞主编的《近世代数基础》(文献 [1] )的第75页第4题的中，群G的两个子群的乘积是G的子群。下面我们从这一道习题出发，来探讨子群乘积是子群的判定条件。

2. 相关知识

定义1.1 [1] 一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如

1) G对于乘法来说是闭的；

2) 结合律成立： $a\left(bc\right)=\left(ab\right)c$ 对于G的任意三个元a，b，c都对；

3) G里存在一个单位元e，能让 $ea=ae=a$ 对于G的任何元a都成立；

4) 对于G的每一个元a，在G里存在一个逆元a⁻¹，能让 $a{a}^{-1}=a^{-1}a=e$ 。

定义1.2 [1] 设H为群的一个非空子集，G是一个群。如果H对于G的代数运算也构成群，则称H为G的一个子群。记作 $N\le G$ 。

定义1.3 [1] 设G是一个群，N为群G的一个非空子集，假如对于G的每一个元a来说，都有 $aN=Na$ ，则称N为G的一个不变子群(或正规子群)，记作 $N⊲G$ 。

定义1.4 [1] 设G是一个群，H、N为群G的两个子群，则集合 $\left\{hn|h\in H,n\in N\right\}$ 称为子群H与N的乘积，记作： $HN=\left\{hn|h\in H,n\in N\right\}$ 。

定义1.5设G是一个群，H、N、L为群G的三个子群，则集合 $\left\{hnl|h\in H,n\in N,l\in L\right\}$ 称为子群H与N、L的乘积，记作： $HNL=\left\{hnl|h\in H,n\in N,l\in L\right\}$ 。

引理1.6 [2] 设H为群G的非空子集。则H为G的子群的充分必要条件是：

任给 $a,b\in H$ ，有 $ab\in H$ ， $a^{-1}\in H$ 。

引理1.7 [2] 设G是一个群，N是群G的子群，则N是G的不变子群的充分必要条件是：

1) 任意 $a\in G$ ，有 $aN=Na$ 。

2) 任意 $a\in G$ ， $n\in N$ ，有 $an{a}^{-1}\in N$ 。

引理1.8 [3] ：设G是一个群，N，H是群G的子群，则HN是G的子群的充分必要条件是当且仅当 $HK=KH$ 。

例1. 在三次对称群 $S_3$ 中，设 $H=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{12}\right)\right\}$ ， $N=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{13}\right)\right\}$ ， $K=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{123}\right),\left(\text{132}\right)\right\}$ ，则H、N、K都是 $S_3$ 的子群，证明：

1) 子群H与N的乘积HN不是G的子群，

2) 子群H与K的乘积HN是G的子群。

证明：1) 因为

$HN=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{12}\right),\left(\text{13}\right),\left(\text{123}\right)\right\}$ ，

$NH=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{12}\right),\left(\text{13}\right),\left(\text{132}\right)\right\}$ ，

所以 $HN\ne NH$ ，由引理1.8知，HN不是G的子群。

2) 因为

$HK=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(13\right),\left(23\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$ ，

$KH=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(13\right),\left(23\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$ ，

所以 $HN=NH$ ，由引理1.8知，HN是G的子群。

3. 子群的乘积是子群的判定条件

我们以例题形式给出上面提到的习题(文献 [1] ，P75第4题)的证明过程：

例2：设G是一个群，假定H是G的子群，N是G的不变子群。证明：子群H与N的乘积HN是G的子群。

证明：

1) 因为 $H\le G$ ， $N⊲G$ ，所以 $e\in H$ 且 $e\in N$ (e为G的单位元)，

则 $e=e\cdot e\in HN$ ，所以 $HN\ne \varnothing$ 。

2) 设 $a\in HN$ ， $b\in HN$ ，那么 $a=h_1{n}_1$ ， $b=h_2{n}_2$

其中存在h₁，h₂属于H，n₁，n₂属于N。

故 $ab=\left(h_1{n}_1\right)\left(h_2{n}_2\right)=h_1\left(n_1{h}_2\right)n_2$ ，又 $N⊲G$ ，则 $h_{2}N=N{h}_2$

从而 $h_2{n^{\prime }}_1=n_1{h}_2$ ( ${n^{\prime }}_1\in N$ )，从而 $ab=h_1\left(h_2{n^{\prime }}_1\right)n_2=\left(h_1{h}_2\right)\left({n^{\prime }}_1{n}_2\right)$

因为 $H\le G$ ， $N⊲G$ ，所以 $h_1{h}_2\in H$ ， ${n^{\prime }}_1{n}_2\in N$ ，所以 $ab\in HN$ 。

3) 任意 $a\in HN$ ，存在 $h\in H$ ， $n\in N$ ，使得 $$ ， $a^{-1}={\left(hn\right)}^{-1}=h^{-1}{n}^{-1}$ ，

由 $N⊲G$ ，所以 $h^{-1}N=N{h}^{-1}$ ， $$ ( $n_3\in N$ )

所以 $a^{-1}=h^{-1}{n}^{-1}=n_3{h}^{-1}\in HN$ ，所以由引理1.7可得 $HN\le G$ 。

于是，我们得到了判定两个子群乘积是子群的一个充分条件：

定理2.1 [4] ：设G是一个群，假定H是群G的子群，N是G的不变子群，那么子群H与N的乘积HN是G的子群。

例3：在三次对称群群 $S_3$ 中，设 $H=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{12}\right)\right\}$ ， $N=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{123}\right),\left(\text{123}\right)\right\}$ 为 $S_3$ 的子群，则HN是 $S_3$ 的子群。这是因为N是 $S_3$ 的不变子群，由定理2.1知结论成立。

推论2.2：设G是一个群，假定H，N都是群G的不变子群，那么子群H与N的乘积HN是G的不变子群。

证明：

1) 因为 $H⊲G$ ， $N⊲G$ ，由定理2.1可推得 $HN\le G$ 。

2) 设任意 $m\in G$ ， $k\in HN$ ，则 $k=hn$ ，

其中存在h属于H，n属于N。则 $mk{m}^{-1}=mhn{m}^{-1}$ 。

因为N是群G的不变子群，H是群G的不变子群，

所以 $N{m}^{-1}=m^{-1}N$ ， $n{m}^{-1}=m^{-1}{n}^{\prime }$ ，其中存在 $n^{\prime }$ 属于N。

$mk{m}^{-1}=mh{m}^{-1}n$ ，其中存在mhm⁻¹属于H。

$mk{m}^{-1}\in HN$ ，从而 $HN⊲G$ 。

一般情况下，一个群的子群与子群的乘积不一定是该群的子群，但是在一定的前提条件下，子群与子群的乘积可以是群的子群。引理1.8中，条件 $HK=KH$ 是两个子群的乘积是子群的充分必要条件，那么三个子群的乘积是子群的判断条件是什么呢？

定理2.3 设G是一个群，假定H，K，是群G的不变子群，L是群G的子群，则子群H、K和L的乘积HKL是G的子群。

证明：

1) 因为H、K、L是G 的子群，所以 $e=e\cdot e\cdot e\in HKL$ ，所以 $HKL\ne \varnothing$ 。

2) 因为 $H⊲G$ ， $K⊲G$ ，记 $HK=N$ ，则任意 $x\in NL$ ， $y\in NL$ ，

则 $x=n_1{l}_1$ ， $y=n_2{l}_2$ ，其中存在n₁，n₂属于N，l₁，l₂属于L。

$xy=\left(n_1{l}_1\right)\left(n_2{l}_2\right)=n_1\left(l_1{n}_2\right)l_2$ ，因为 $H⊲G$ ， $K⊲G$ ，

所以 $xy=n_1\left(l_1{n}_2\right)l_2=n_1\left({n^{\prime }}_2{l^{\prime }}_1\right)l_2=\left(n_1{n^{\prime }}_2\right)\left({l^{\prime }}_1{l}_2\right)\in NL$

其中存在 ${n^{\prime }}_1$ 属于N， ${l^{\prime }}_1$ 属于L。所以 $xy\in NL$ 。

又 $x^{-1}={\left(n_1{l}_1\right)}^{-1}=l_1^{-1}{n}_1^{-1}={\left(n_1^{-1}\right)}^{\prime }{\left(l_1^{-1}\right)}^{\prime }\in NL$ ，即 $x^{-1}\in NL$ ，

所以NL是G的子群，又因为 $HK=N$ ，所以 $HKL\le G$ 。

所以我们从定理2.3中可以得到一个推论

推论2.4设G是一个群，假定H，K，L是群G的三个不变子群，则子群H.K.N的乘积HKL是G的不变子群。

从上述定理2.3，推论2.4中，我们得出当群G中的三个子群之中存在两个或三个子群为不变子群时，它们的乘积是子群。那么，如果群G中的三个子群之中不存在不变子群时，它们的乘积可能是G的子群吗？

例4：在三次对称群 $S_3$ 中，设 $H=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{12}\right)\right\}$ ， $K=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{13}\right)\right\}$ ， $L=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{23}\right)\right\}$ ，则H、K、L都是 $S_3$ 的子群，证明：子群 H与K、L的乘积HKL是 $S_3$ 的子群。

解：因为

$HK=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{12}\right),\left(\text{13}\right),\left(\text{123}\right)\right\}$ ,

$HKL=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(13\right),\left(23\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}=S_3$

所以子群H与K、L的乘积HKL是的 $S_3$ 子群。

例5：在四次对称群中，设 $H=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{12}\right)\right\}$ ， $K=\left\{\left(\text{1}\right),\left(\text{13}\right)\right\}$ ， $L=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}$ ，则H、K、L都是S4的子群，试问子群H与K、L的乘积HKL不是 $S_4$ 的子群。

解：1) $HK=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(13\right),\left(123\right)\right\}$ ，

$\begin{array}{l}HKL=\{\left(1\right),\left(12\right),\left(13\right),\left(123\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(34\right),\left(1432\right)\left(243\right),\\ \left(1423\right),\left(24\right),\left(142\right)\}\end{array}$ ,

可以验证子群 H与K、L的乘积HKL不是 $S_4$ 的子群。

我们从例4，例5中可知当群G中的三个子群之中不存在不变子群时，它们的乘积可能是G的子群也可能不是G的子群，那么当群G中的三个子群之中不存在不变子群时，它们的乘积是G的子群存在什么条件呢？

定理2.5：设G是一个群，假定K，L都是群G的子群，H是群G的不变子群，且 $KH=HK$ ，则子群H.K.L的乘积HKL是G的子群的充分必要条件是 $HKL=LKH$ 。

证明：

1) 充分性

若 $HKL=LKH$ ，于K、H是G的子群，且 $KH=HK$ ，

由引理1.8知KH是G的子群，记 $KH=N$ ，则由 $HKL=LKH$ ，

知 $NL=LN$ ，由引理1.8知NL是G的群，但 $NL=KHL=HKL$ ，

故HKL是G的子群。

2) 必要性

若HKL是G的子群，记 $HK=N$ ，由已知有 $N\le G$ ， $H\le G$ ， $KH=HK$ ，

由引理1.8知，HK是G的子群，即N是G的子群，

于是N与L的乘积NL是G的子群，再由引理1.8知 $NL=LN$ ，

从而 $\left(HK\right)L=L\left(HK\right)$ ，即 $HKL=LKH$ 。

4. 结论

群是近世代数中主要的内容之一，由于有限群G的子群的乘积不一定是G子群，但是也有一些子群在满足一定条件下，其子群的乘积为子群。本文中我们探讨了两个子群乘积是子群的判定条件以及三个子群乘积是子群的判定条件，而三个以上的子群乘积则没有探讨，期待你们去探究。