1. 引言
在生态动力系统中,环境对于人口模型的影响不可忽视,Nicholson飞蝇模型便是考虑了环境因素的模型。在文献 [1] [2] [3] 中,作者研究了具有线性死亡密度的Nicholson飞蝇模型。在文献 [4] [5] [6] 中,作者考虑了具有非线性死亡密度的Nicholson飞蝇模型,为了更精确地描述其发展规律,文献 [7] [8] [9] 研究了具有离散时滞的Nicholson飞蝇模型。随着对此类模型更深入的研究,发现分布时滞更符合真实环境下的模型。在该文中,我们研究一类具有非线性死亡密度连续分布时滞的Nicholson飞蝇模型正周期解的全局指数稳定性。
在文献 [7] 中,作者考虑了离散时滞的Nicholson飞蝇模型的概周期解及其指数稳定性,在文献 [4] 中,作者研究了非线性死亡密度函数为
的Nicholson飞蝇模型。该文研究的是非线性死亡密度函数为
具有连续分布时滞的另一类Nicholson飞蝇模型。
该文考虑下面的具有连续分布时滞的Nicholson飞蝇模型
(1.1)
其中a,b,
是连续的T-周期函数,
,
为连续时滞核函数。
定义
,
,
。
设
是
上全体连续函数的集合组成的Banach空间,赋予上确界范数
,
,定义
,
,初始条件为
,
,
。
结合
的单调性可知,存在
使得
(1.2)
显然
(1.3)
由
在
上单调递增,在
上单调递减,则存在唯一的
,使得
(1.4)
引理1.1:假设存在
使得
(1.5)
成立,则系统(1.1)的解
在
上是有界的,且系统(1.1)是持久的。
证明:令
,因为
,由引理5.2.1 [10] 有
,
。由
,对
,
,我们有
,
已知
,对上式积分有
。
定义
,
。
下证
在
上是有界的。
否则,当
时,
,有
。则存在序列
,使得
,
。
另一方面,
,则
。
因此,
,
即
,
由
,有
,
则
,
令
,有
,
与(1.5)矛盾。因此,
在
上是有界的。由 [11] 中的定理2.3.1知,
。
下证
,
,
。否则
,使得
,
,
,
所以,有
,
这与(1.5)矛盾。所以有
。
下证
,首先证明
,否则
。
定义
则有
,
(1.6)
由
的定义,有
,
,
。因此,
由第一积分中值定理,有
结合(1.6)有
,其中,
,
。
由系数函数的连续性及周期性,选取序列
,使得
因此,
可得,
令
,有
,
这与(1.5)矛盾,因此,
。
下证
,否则,
。
由波动引理( [10] Lemma A.1.)可知,存在数列
,使得
,
,
,当
时。
因为
是一致有界且等度连续的,由Ascoli-Arzela定理可知,存在
的子列,不妨仍记为它本身,使得
,其中
。此外,
,
。
由第一积分中值定理,有
,
其中,
,
。
由上可推导出,
,
。
当
时,有
与(1.5)矛盾。所以
。综上,引理1.1得证。
引理1.2:假设引理1.1的条件成立,且
(1.7)
设
,
,则存在正常数
,
使得
,
,
其中,
。
证明:令
,其中
,则有
由引理1.1可知,存在
,
,
。
考虑Lyapunov函数
。
则
断言
。
否则,存在
,使得
,
,
,由条件知,存在
,
,且
,使得
则
所以,
。
因此,有
这与(1.7)矛盾。所以,
,
。
2. 周期解及全局指数稳定性
定理2.1:在引理1.2的条件假设下,系统(1.1)存在唯一的正T-周期解,且该正周期解是全局指数稳定的。
证明:令
,由引理1.1可知,存在
,使得
,
。由(1.1)的系数和时滞的周期性,对任意的自然数q,有
这表明
在
时为系统(1.1)的解。
是系统(1.1)在初值
,
下的解。
由引理1.2知,对任意的非负整数h,存在正常数
,使得当
时,有
其中
。
令
是R中的任意区间,选择非负整数
,使得当
时,有
,则对
和
,有
。
由
的任意性可知,
在R上内闭一致收敛到
,且
,
。取极限有
所以,
是T-周期解。
令
,有
所以,
是系统(1.1)在
上的解。类似于引理2.1的证明,可证正周期解
是全局指数稳定的。
3. 举例应用
例3.1:考虑下面的系统
由上式可知,
,
,
,
,
,
。
则
,
,
,
,
,
,
。
取
,
,
,由计算可知,
,
。
综上,满足定理2.1的全部条件,所以上述系统存在唯一的全局指数稳定的正2π-周期解。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(No. 11571088,No. 11471109,No.11526111),浙江省自然科学项目(No. LY14A010024),湖南省教育厅项目(No. 14A098)。