柯西积分公式的一点注记

A Note on Cauchy Integral Formula

摘要: 本文从例3.2计算积分出发，用参数方程法计算例3.2的积分值，并分别从积分曲线和被积函数两方面对例3.2进行推广。首先，把积分曲线进行推广，从以z₀为中心r为半径的圆推广到包含z₀的任一条闭曲线，推广后具有更广的适用范围。其次，把被积函数进行推广，由分别推广到及，进一步讨论了例3.2与柯西积分公式和解析函数高阶导数公式之间的密切联系。

Abstract: In this paper, according to integral calculation based on in Example 3.2, the integral value of Example 3.2 is calculated by the parametric equation method and the case 3.2 is general-ized from the integral curve and the integrand function. First, the integral curve is generalized, and the circle with z₀ as the center and r as the radius is generalized to any closed curve containing z₀; after the promotion, this example has a wider scope of application. Secondly, the integrand function is promoted, is promoted to and respectively, the close relationship between the case 3.2 and the Cauchy integral formula and the high-order derivative formula of the analytic function is discussed further.

1. 引言

复变函数积分的计算在复变函数课程的教学中有着举足轻重的地位，它是研究解析函数的一个重要工具，是人们讨论的热点问题 [1] [2] [3] [4] [5] 。但讨论最多的是复积分的计算方法 [6] [7] [8] [9] 以及复积分的应用 [10] [11] 。例3.2在复积分的计算中有着举足轻重的地位，它与柯西积分公式、高阶导数公式之间有着密切的联系，但是有关例3.2与柯西积分公式之间的文章却很少。本文就从例3.2出发，先用复积分计算的最基本的方法即参数方程法来求解例3.2，再将例3.2推广，讨论例3.2与柯西积分公式和高阶导数公式之间的联系。

2. 回顾例3.2

定理1 [12] 若函数 $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ 沿曲线C连续，则 $f\left(z\right)$ 沿C可积，且

${\displaystyle {\int }_{c}f\left(z\right)\text{d}z}={\displaystyle {\int }_{c}u\text{d}x-v\text{d}y}+i{\displaystyle {\int }_{c}v\text{d}x+u\text{d}y}.$ (1)

此定理给出了复积分存在的条件，并给出了一个计算复积分的公式，该定理在文献 [12] 中用定义进行了证明，但对于工科的学生来说此证明有一定的难度，因此我直接推导出计算复积分的公式，从公式得出复积分存在的条件，学生更容易接受。

证 由 $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ ， $z=x+iy$ ，故

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{c}f\left(z\right)\text{d}z}={\displaystyle {\int }_c\left(u+iv\right)\text{d}\left(x+iy\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_c\left(u+iv\right)\left(\text{d}x+i\text{d}y\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{c}u\text{d}x+iu\text{d}y+iv\text{d}x-v\text{d}y}\\ ={\displaystyle {\int }_{c}u\text{d}x-v\text{d}y}+i{\displaystyle {\int }_{c}v\text{d}x+u\text{d}y}\end{array}$

这就把复积分的计算转化为第二类曲线积分的计算问题，而等号右端的第二类曲线积分存在的条件是二元函数 $u,v$ 在曲线C上连续，从而 $f\left(z\right)$ 在曲线C上连续，于是得到 $f\left(z\right)$ 沿曲线C可积的条件是 $f\left(z\right)$ 在曲线C上连续，定理得证。

公式(1.1)说明，复变函数积分的计算问题可以化为其实部、虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题，曲线积分的计算对工科的学生来说也是一个难点，更进一步把复变函数积分的计算转化为定积分来

求解。设有光滑曲线C: $z=z\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right)\left(\alpha \le t\le \beta \right)$ ，这就表示 $z^{\prime }\left(t\right)$ 在 $\left[\alpha ,\beta \right]$ 上连续且有不为零的导数 $z=z^{\prime }\left(t\right)=x^{\prime }\left(t\right)+i{y}^{\prime }\left(t\right)$ 。

又设 $f\left(z\right)$ 沿C连令 $f\left[z\left(t\right)\right]=u\left[x\left(t\right),y\right]\left(t\right)+iv\left[x\left(t\right),y\left(t\right)\right]=u\left(t\right)+iv\left(t\right)$ 。

由公式(1.1)我们有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{c}f\left(z\right)\text{d}z}={\displaystyle {\int }_{c}u\text{d}x-v\text{d}y+i{\displaystyle {\int }_{c}v\text{d}x+u\text{d}y}}\\ ={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }\left[u\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)-v\left(t\right)y^{\prime }\left(t\right)\right]\text{d}t}+i{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }\left[u\left(t\right)y^{\prime }\left(t\right)+v\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)\right]\text{d}t}\end{array}$

即

${\displaystyle {\int }_{c}f\left(z\right)\text{d}z}={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left[z\left(t\right)\right]z^{\prime }\left(t\right)\text{d}t},$ (2)

或

${\displaystyle {\int }_{c}f\left(z\right)\text{d}z}={\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{Re}\left\{f\left[z\left(t\right)\right]z^{\prime }\left(t\right)\right\}\text{d}t}+i{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{Im}\left\{f\left[z\left(t\right)\right]z^{\prime }\left(t\right)\right\}\text{d}t}.$ (3)

用公式(1.2)或(1.3)计算复变函数的积分，是从积分路径C的参数方程出发的，称为参数方程法。

例3.2 [13] 计算积分 ${\displaystyle {\int }_c\frac{1}{{\left(z-z_0\right)}^n}\text{d}z}$ ，其中n为任意整数，C为以 $z_0$ 为中心，r为半径的圆周。

解C的参数方程为： $z-z_0=r{\text{e}}^{i\theta },0\le \theta \le 2\text{π}$ 。故

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_c\frac{1}{{\left(z-z_0\right)}^n}\text{d}z}={\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\frac{ir{\text{e}}^{i\theta }}{r^n{\text{e}}^{in\theta }}\text{d}\theta }=\frac{i}{r^{n-1}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\text{e}}^{-i\left(n-1\right)\theta }\text{d}\theta }\\ =\frac{i}{r^{n-1}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\cos \left(n-1\right)\theta \text{d}\theta }+\frac{1}{r^{n-1}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}\sin \left(n-1\right)\theta \text{d}\theta }\\ =\{\begin{array}{l}2\text{π}i,n=1;\\ 0,n\ne 1.\end{array}\end{array}$

注：此例3.2中积分曲线C比较特殊是以 $z_0$ 为中心，r为半径的圆周，被积函数 $\frac{1}{{\left(z-z_0\right)}^n}$ 的奇点 $z_0$ 刚好是C的圆心，如果C是包含 $z_0$ 的任意闭曲线，则例3.2就不能直接用参数方程法来做了，下面讨论将例3.2推广后的情形。

3. 例3.2的推广形式

3.1. 将积分曲线推广

引理2.1 (复合闭路定理)设C为复连通区域D的一条简单闭曲线， $C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 是在C内部的简单闭曲线，他们互不相交，互不包含，并且以 $C,C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 为边界的区域全含于D，如果 $f\left(z\right)$ 在D内解析，则有

${\displaystyle {\int }_{c}f\left(z\right)\text{d}z}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{c_k}f\left(z\right)\text{d}z}}$

其中C及 $C_k\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$ 均取正方向。

证明见文献 [13] 。

例3.2’ 计算积分 $$ ，其中n为任意整数，C为包含 $z_0$ 的任意闭曲线。

解 以 $z_0$ 为心， $\rho$ 为半径的圆 $$ 包含于C，将 $z_0$ 挖去，由复合闭路定理

${\displaystyle {\int }_c\frac{1}{{\left(z-z_0\right)}^n}\text{d}z}={\displaystyle {\int }_{c_1}\frac{1}{{\left(z-z_0\right)}^n}\text{d}z}$

再根据例3.2

${\displaystyle {\int }_c\frac{1}{{\left(z-z_0\right)}^n}\text{d}z}={\displaystyle {\int }_{c_1}\frac{1}{{\left(z-z_0\right)}^n}\text{d}z}=\{\begin{array}{l}2\text{π}in=1,\\ 0n\ne 1.\end{array}$

这是例3.2更为普遍的形式，适用的范围更广。

3.2. $n=1$ 时，将被积函数 $\frac{1}{z-z_0}$ 推广到 $\frac{f\left(z\right)}{z-z_0}$

在例3.2’中， $n=1$ 时，将被积函数 $\frac{1}{z-z_0}$ 推广到 $\frac{f\left(z\right)}{z-z_0}$ 便得到我们的柯西积分公式。

定理2 设 $f\left(z\right)$ 在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在 $\bar{D}=D\cup C$ 上连续， $z_0$ 是D内任一点，则

$f\left(z_0\right)=\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle {\oint }_c\frac{f\left(z\right)}{z-z_0}\text{d}z}$

或

${\displaystyle {\oint }_c\frac{f\left(z\right)}{z-z_0}\text{d}z}=2\text{π}if(z0)$

注：此定理的证明见 [13] ，此公式称为柯西积分公式，这个公式说明，如果一个函数在简单闭曲线C内部解析，在C上连续，则函数在C内部某一点的函数值完全可由C上的积分值而定；另一方面它也提供了一种计算简单闭曲线上复积分的一种方法。

3.3. $n\ne 1$ 时，将被积函数 $\frac{1}{{\left(z-z_0\right)}^n}$ 推广到 $$

在例3.2’中， $n\ne 1$ 时，继续将被积函数 $$ 推广到 $\frac{f\left(z\right)}{{\left(z-z_0\right)}^n}$ 便得到我们的解析函数的高阶导数公式。

定理3 设 $$ 在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在 $\bar{D}=D\cup C$ 上连续，则 $f\left(z\right)$ 的各阶导数均在D内解析，对D内任一点 $z_0$ ，有

$f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)=\frac{n!}{2\text{π}i}{\displaystyle {\oint }_c\frac{f\left(z\right)}{{\left(z-z_0\right)}^{n+1}}\text{d}z}$ $\left(n=1,2,\cdots \right)$

此式叫做解析函数的高阶导数公式。可以从两个方面应用这个公式：一方面用求积分来代替求导数；另一方面则是用求导数的方法来计算复积分，即

${\displaystyle {\oint }_c\frac{f\left(z\right)}{{\left(z-z_0\right)}^{n+1}}\text{d}z}=\frac{2\text{π}i}{n!}{f}^{\left(n\right)}\left(z_0\right).$

从而为某些复积分的计算开辟了新的途径。

从以上讨论可知，例3.2与复积分计算的参数方程法，柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式之间存在密切联系，了解它们之间的内在联系有助于我们更好地学习复积分的计算方法，而且可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。

基金项目

河南省高等学校重点项目(19A110031)，任务驱动下的复变函数教学研究与实践(2017jgxm26)。

参考文献