1. 引言
Black-Scholes期权定价模型不太适用零和博弈市场如期货市场。且BS公式在计算到期时间短的期权价格时偏差较大。金融市场长线行情或可预测但短线行情往往非常近似随机游走行情。所以本文从随机游走行情推导期权定价公式并提出三个命题,给出证明并推导出若干公式。
2. 正文
记
为标准正态分布概率密度函数:
[1]
N为标准正态分布变量的累积概率分布函数:
[1]
设标的资产的行情为随机游走行情,该随机游走行情单位时间涨跌幅度均值为0,标准差为
(不同于BS公式里的标准差),那么T个单位时间的涨跌幅度的均值为0,标准差为
。
设当前价格为S,期权执行价格为K,则到期时间为T个单位时间的期权价格C的表达式为:
,
易验证
的导数为
,所以
的一个原函数是
,
那么易解得:
又
,所以C亦可写成:
标的资产价格上涨dS时,期权价值上涨dC,所以最佳对冲比例为:
将S看作自变量,对C求导后并化简得:
当
,此时该标的资产单位时间涨跌幅度均值为0,标准差为1,当前价格为0,
下文是在
的情况下进行计算和证明,不影响所提出的结论,不再另作说明。
命题一:
随机游走行情中,卖出一份看涨期权获得期权费
同时买入
份标的资产,到期时的损益与一份看涨期权到期时的价值最接近。即买入
份标的资产到期时的损益与买入一份看涨期权到期时的损益(期权到期时的价值减去期权费
)最接近,也就表明通过买卖标的资产可以复制期权。
证明:设持有
份标的资产、到期时标的资产价格为
,因已设当前价格S = 0,所以到期时的资产损益为
(x为负数时表示亏损)。
到期时若
小于等于K,那么到期时的期权价值为0。期权费
加上到期时资产损益
与期权价值之差为:
到期时若
大于K,那么到期时的期权价值为
。期权费
加上到期时资产损益
与期权价值之差为:
应用最小二乘法,
令
命题中所有可能的值最接近0指的是最小化
。
当
的导数(M是自变量)
时,
最小。
为方差的定义,因方差为1,所以
,上式整理为:
所以,
。
下面证
;
移项得,只需证:
;
左右两侧分别对K求导:
左侧式子导数为:
,
即
;
即
;
右侧式子导数为:
;
证明了左侧式子的导数 = 右侧式子的导数。
那么由此可知:左侧式子 = 右侧式子 + 一个常数。
且当K =
时,右侧式子是方差的定义,因方差是1,所以右侧是1,左侧将K =
带入,也是1,说明所加常数为0,
成立,所以
,命题得证。
在证明命题一的过程中,我们得到一个很简洁的等式:
等式一:
为了引出命题二,先考虑两个方程。
考虑如下两个情形:
情形1 (设标的资产到期价格为
):
卖出一份期权获得期权费C,同时买入
份标的资产,期权到期时再根据到期行情的价格支付期权买方所应得金额后,若要求此时的盈亏值在到期行情大于等于S的情况下(即
),期望值为0,求解
。
即
满足如下式子:
再结合
以及
。
求解得:
情形2 (设标的资产到期价格为
):
卖出一份期权获得期权费C,同时买入
份标的资产,期权到期时再根据到期行情的价格支付期权买方所应得金额后,若要求此时的盈亏值在到期行情大于等于
的情况下(即
),期望值为0,求解
。
即
满足如下式子:
再结合
以及
。
求解得:
命题二:
证明:为了证明时论述方便,这里将自变量
换为
,同时结合
。
将命题二等价转换为以下两个不等式:
不等式一:
不等式二:
不等式一的证明:
不等式一的右侧式子中有一个分母是2x,此时用极限求x = 0时的值。
不等式一的右侧式子给出了
的一个下界初等函数,用这个下界函数减去
后的函数图如图1所示。
![](//html.hanspub.org/file/30-2620927x92_hanspub.png)
Figure 1. The lower bound function minus
图1. 下界函数减去
令
,
的函数图像即是图1。
当x = 0时,应用极限,显然
= 0,此时满足式子。当x > 0时,考察
的导数
的性质:导数
先小于0,接着,当
,导数
,又因
,所以证明了
,故该不等式成立。
不等式二的证明:
不等式二的右侧式子给出了
的一个上界初等函数,用这个上界函数减去
后的函数图如图2所示。
![](//html.hanspub.org/file/30-2620927x107_hanspub.png)
Figure 2. The upper bound function minus
图2. 上界函数减去
令
,
的函数图像即是图2。
当x = 0时,显然
,即满足式子。当x > 0时,考察
的导数:
令
。
可知,
;
;
又
;
所以,
,不等式得证。
命题二得证。
这两个不等式分别给出了
的下界初等函数和上界初等函数,作者将上下界函数取平均即得到
的一个逼近公式即逼近公式一。
逼近公式一:
x = 0时,右侧式子中有一个分母是4x,此时用极限求解,当x趋近于0得右侧式子为0.5,左侧N(0)也是0.5,此时是严格相等。
逼近公式一的误差图(横坐标为x的值,纵坐标为误差)如图3所示。
![](//html.hanspub.org/file/30-2620927x123_hanspub.png)
Figure 3. The error of the approximate formula one
图3. 逼近公式一的误差
逼近公式一未进行任何优化也取得了一定精度:最大的绝对误差是
,x越大误差越小,当x大于2时,误差小于
。
该逼近公式是命题二的一个应用,命题二的价值在这里得到了一定程度体现。
为了引出命题三,考虑如下情形(设标的资产到期价格为
):
卖出一份期权获得期权费C,同时买入
份标的资产,期权到期时再根据到期行情的价格支付期权买方所应得金额后,若此时的盈亏值在到期行情大于等于
的情况下(即
),期望值为0,求解
(由命题二易知,
)。
即
满足如下式子:
再结合
。
化简得方程:
从上式难以得出
的解析表达式,但作者发现三条性质:
命题三:
性质1:
为自变量,当
时,
近似地在一条直线上,直线拟合
= 0.9974。
性质2:
为自变量,当
时,
近似地在一条直线上,直线拟合
= 0.9992。
性质3:
为自变量,当
时,
非常近似地在一条直线上,直线拟合
= 0.9998,且
。
分别绘图(横坐标为
),如图4、图5、图6所示。
![](//html.hanspub.org/file/30-2620927x151_hanspub.png)
Figure 4.
in a straight line approximately
图4.
近似在一条直线上
![](//html.hanspub.org/file/30-2620927x154_hanspub.png)
Figure 5.
in a straight line approximately
图5.
近似在一条直线上
![](//html.hanspub.org/file/30-2620927x157_hanspub.png)
Figure 6.
in a straight line approximately
图6.
近似在一条直线上
下面证明
:
方程左右两侧都对
求导并整理得:
当
趋向于0时,因
,所以
也趋向于0。
将
代入上式得:
,即
命题三的应用:
由命题三的这三个近似直线的性质,作一定程度优化后可以再得到三个逼近公式。
为了论述方便,这里将自变量
换为
,同时结合
,再结合当
且较小时,有
。
由命题三的性质2得逼近公式二:
其中,
。
逼近公式三的误差图(横坐标为
的值,纵坐标为误差)如图7所示。
逼近公式二实现了高精度,最大的绝对误差是
。当x大于1.29时,随着x的增大,误差持续减小,当x = 3时,误差是
,当x = 6时,误差是
。
![](//html.hanspub.org/file/30-2620927x180_hanspub.png)
Figure 7. The error of the approximate formula two
图7. 逼近公式二的误差
将N和逼近公式二所得值
同时画在一张图表里,如下图,由于精度非常高所以图表中两曲线重叠了,如图8所示。
![](//html.hanspub.org/file/30-2620927x182_hanspub.png)
Figure 8. The comparison between the value obtained by the approximate formula two and the exact value
图8. 逼近公式二所得值和准确值的对比
由命题三的性质3得逼近公式三:
其中,
逼近公式三的误差图(横坐标为x的值,纵坐标为误差)如图9所示。
![](//html.hanspub.org/file/30-2620927x185_hanspub.png)
Figure 9. The error of the approximate formula three
图9. 逼近公式三的误差
逼近公式三也实现了较高精度,最大的绝对误差是
。精度高于逼近公式一,低于逼近公式二,但逼近公式三比逼近公式二简洁。
由命题三的性质1得逼近公式四:
逼近公式四的误差图(横坐标为x的值,纵坐标为误差)如图10所示。
![](//html.hanspub.org/file/30-2620927x188_hanspub.png)
Figure 10. The error of the approximate formula four
图10. 逼近公式四的误差
逼近公式四最大的绝对误差是
。精度高于逼近公式一,低于逼近公式二,低于逼近公式三,但逼近公式四最简洁。
3. 结论
本文在随机游走行情期权复制的研究中提出三个命题。命题一从新的角度阐述期权复制原理并推导出一个数学等式。由命题二、命题三,发现了两个不等式、四个累积正态分布函数的近似初等函数。两个不等式给出了
的上下界,能帮助人们快速估算
的取值范围。四个累积正态分布函数的近似初等函数中,逼近公式二的近似精度最高,远高于逼近公式一的近似精度,但公式略微复杂。逼近公式四兼顾了精度和公式简洁性,应用时建议选择逼近公式四。
参考文献