1. 引言及主要结果
考虑下面的一阶拟线性双曲组
(1.1)
其中
是变量
的未知向量函数,而
是元素适当光滑的
矩阵,非齐次项
是元素适当光滑的向量函数。由双曲性可知,对所考虑范围上任一给定的u值,
有n个实的特征值
和一个完备的左(右)特征向量组。对于
,令
(相应地,
)是对应于
的左(相应地,右)特征向量:
有
不失一般性,假设在所考虑的范围上
(1.2)
其中
是Kronecker符号。
在方程组是严格双曲的假设下,早期利用弱线性退化的概念,李大潜、周忆和孔德兴在 [1] [2] 中,对方程组(1.1)具一定衰减性的小C1初值的Cauchy问题给出了C1解的整体存在性和破裂现象的结果。之后,这些结果又被推广到具有常重特征的非严格双曲组的情况( [3] 及 [4] ),这里所有的常重特征均为或均假设为线性退化的。其后,王利彬在不加重特征是线性退化的限制下,对具有一定衰减性的小C1初值的Cauchy问题解决了C1解的破裂问题( [5] )。本文在王利彬的基础上,将齐次项改为非齐次项
,考虑当
且满足匹配条件时,对上面的Cauchy问题,其C1解在有限时间内的奇性形成问题。
在本文中,对于具常重特征的双曲组(1.1)恒假设所有
及
均与
有同样的正规性。
不失一般性,设在
的某个邻域内成立
(1.3)
其中
。当
时,方程组(1.1)是严格双曲的;当
时,方程组(1.1)是具常重特征
的非严格双曲组。
为了简练,本文不再赘述弱线性退化,标准坐标和匹配条件的概念(看 [6] )。
考虑方程组(1.1)具如下初值
(1.4)
的Cauchy问题,其中
是一个小参数。本文的主要结果是:
定理1.1:设方程组(1.1)是非严格双曲组,(1.3)式成立,且在
的某个邻域中,A是适当光滑的,进一步假设
满足匹配条件且系统(1.1)不是弱线性退化的,且
其中
的定义见 [2] 。最后假设
且满足
(1.5)
其中
。
是一个常数,令
如果存在
,使得
那么一定存在适当小的
,使得对任意给定的
,Cauchy问题(1.1)和(1.4)的C1解
的一阶偏导数
必在有限时间内破裂且生命跨度
满足
其中
(1.6)
的定义见 [2] 。
2. 预备知识
令
(2.1)
由(1.2)易知
(2.2)
令
表示沿第i特征关于t的方向导数,有(参见 [6] )
然后,在广义的标准坐标下,易得
(2.3)
其中
显然
(2.4)
(2.5)
(2.6)
而且,由(2.2)和(2.3),有
其中
(2.7)
另一方面,有
(2.8)
其中
其中
表示在前面各项中交换j与k后所得的项。
(2.9)
因此,
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
而且,由(2.2)和(2.8),有
其中
再由(1.3)有
在标准坐标下,初始条件(1.4)可以写作(参见 [2] )
(2.14)
其中
(2.15)
(2.16)
而且,根据 [7] 中的注2.4.1可以选取一个适当的标准坐标,使得
因此,有
接下来,将给出本文所要用到的两个重要引理(证明见 [8] 或 [9] )。
引理2.1:假设
是常微分方程
(2.17)
在区间
上的
解,其中T是给定的正数,
是
上的连续函数,且
令
(2.18)
如果
那么
引理2.2:假设
是
上的连续函数,令
且K如(2.18)所定义。如果
且有
那么(2.17)连同初值
在
上有唯一的解
。
且如果
,则
如果
,则
3. 定理1.1的证明
不失一般性,定理1.1的证明将在标准化坐标下进行,且与 [2] 中类似,可以假设
(3.1)
由(1.3)知,存在适当小的正常数
及
,使得
(3.2)
(3.3)
(3.4)
先假设在
解
的任一存在域上,恒成立
(3.5)
在引理3.3的证明最后,将解释此假设的合理性。对任意给定的
,令
对
,令
由(3.1)~(3.3),当
适当小时,有
令
其中
其中
表示在
上的任一第j特征。
由
及
的定义容易得到(参见 [2] )。
引理3.1:对于
,在区域
上成立
其中c和C是不依赖于T的正常数。
引理3.2:假设(3.1)成立,
,满足(1.5),且在
的一个邻域内,
。那么一定存在适当小的
,使得对于任意给定的
,对于Cauchy问题(1.1)及(1.4)的
解
,在其任一给定的存在区域
(其中
)上,存在不依赖于
及T的正常数
和
使得下面的一致先验估计式成立:
引理3.3:在定理1.1的假设下,在标准坐标下,一定存在适当小的
,使得对于任意给定的
,对Cauchy问题(1.1)和(1.4)的
解
,在其任一给定的存在区域
上,存在不依赖于
及T的正常数
使得下面的一致先验估计式成立:
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
其中
而且
(3.11)
(3.12)
证明:先估计
。在
上任作一条第j特征
交
的边界于点P1与点P2 (当
时,
;当
时,
)。过原点作第i特征交
于点P0。设点P1,P2及P0的t坐标分别为
及
。过P1作第i特征交直线
于点
,过P2作第i特征交直线
于点
。有
为了估计
,在区域P1A1OP0上用Stokes公式,就得到
(3.13)
由(3.2)~(3.3)及(3.5),并注意到(2.9)~(2.12)及引理3.1~3.2,可得
今后c是不依赖于
和T的正常数。同时,对
有类似的估计式。这样得到
类似的,有
下面估计
。当
时,过任意给定的点
作第i特征交直线
于点
,沿该特征从
到t积分(2.8),得
(3.14)
由引理3.2,有
(3.15)
另一方面,由(2.10)和(3.5),并利用引理3.1,有
(3.16)
由(3.4),有
再由
的定义并注意到
,易得
于是从(3.14)~(3.16),并应用引理3.1,就得到
当
时,由(2.10),类似地可得
然后得到
类似地,有
现在来估计
和
。类似于(3.13),由(2.4)~(2.7)我们有
类似地可以估计
,因此得到
类似地,有
而且,对于任意给定的点
,有
其中
位于直线
上。于是,由(3.5)和引理3.1,并利用引理3.2易得:当
时,成立
因此,得到
由
。对于适当小的
,恒成立
这说明了假设(3.5)的合理性。利用连续归纳假设即证(3.6)~(3.10)。
最后,证明
。过任意给定的点
,作第i特征
交
的边界之一于点
。沿该特征从
到t积分(2.8),得到
注意到引理(3.1)~(3.2),和
对任意固定的点
,有
由引理3.2和(3.11),并应用连续归纳假设,就能立即得到(3.12)。引理3.3得证。
注3.1:由(3.9)和(3.12),当
适当小时,Cauchy问题(1.1)和(1.4)在
上存在唯一的
解
,其中T满足(3.11)。因此我们得到了
解
的生命跨度的下界
下面证明定理1.1。
显然,为了证明定理1.1,只要证明
(3.17)
及
(3.18)
其中
由(1.6)定义。
接下来,将在标准坐标下考虑问题,并且假设
是适当小的。
先来证明(3.17)。由注3.1,对于任意固定的
,Cauchy问题(1.1)和(1.4)在区域
上存在唯一的
解
,其中
(3.19)
先假设成立
(3.20)
并将在证明的最后说明此假设的合理性。
由(1.5)和(1.6)知,存在
和
使得
令
不妨设
,且
过
作第m特征
。由
的定义知,该特征一定在有限时间
进入
并从此落在其中(参见 [2] )。在
解的存在区域上,由(2.8)沿该特征有
(3.21)
其中
(3.22)
由(3.19),得到
(3.23)
由(2.4)~(2.6),并应用引理3.1~3.3,沿
积分(2.3)
(3.24)
由(2.14)~(2.15),得到
(3.25)
另一方面,在
解
的存在域
上,由Hadamard公式和引理3.3,沿着
,有
(3.26)
而且,由(2.13)并由
及
的定义,有
(3.27)
然后,应用(3.9),并由(3.25)~(3.26)得到
(3.28)
其中
。
因此,对于适当小的
,有
应用Hadamard公式和引理3.3,得到
(3.29)
与(3.24)类似,应用引理3.2~3.3,并且由(3.23),有
(3.30)
注意到(2.16),由(3.29)~(3.30),得
(3.31)
对于适当小的
,有
应用引理3.3,易得
(3.32)
然后,有
(3.33)
则
(3.34)
对常微分方程(3.21)具初值
的Cauchy问题应用引理2.1,得到
因此,由(3.28),(3.31)~(3.34),易得,存在不依赖于
和T的正常数
,使得
其中
因此,当
适当小时,成立
这就说明了假设(3.20)的合理性。
现在来证明(3.18)。只需证明对于任意给定的正常数
,成立
(3.35)
为了证明这个,只需在任意给定的区域
上建立有关Cauchy问题(1.1)和(1.4)的解的
范数的一致先验估计:
(3.36)
由引理3.2~3.3,有
因此,下面估计
,仅估计
,其他的情况可类似地估计出来。
沿着穿过x-轴上任意固定的点
的m阶特征
,仍然有(3.21)成立,其中
。可假设
(否则,用
代替
)。
下面首先估计
,其中T满足(3.36)。应用(3.27)并注意到(3.9)和(3.25),由(3.22)得
那么,由(2.1),(2.14),(2.16),得到
(3.37)
而且,正如上面指出的,
一定在一个独立于
的有限时间
时进入
并在这之后就在其中。那么,对于适当小的
,由(3.36)并应用Hadamard公式和引理3.2~3.3,有
而且,有
(3.38)
(3.39)
(3.40)
及
(3.41)
因此,由
的定义及(3.37)并应用(3.40)~(3.41),对于适当小的
,有
(3.42)
因此,由(3.38)~(3.42),应用引理2.2,可以得到
因为y是任意的,于是有
那些
的情形可以被类似的证明。
那么,注意到(2.2),最终得到
因此,对于任意正常数
,Cauchy问题(1.1)和(1.4)在区域
上存在唯一解。这意味着当
适当小时,(3.35)成立,这就证明了(3.18)。定理1.1证毕。
致谢
本文是在导师徐玉梅副教授的悉心指导下完成的,徐老师不仅传授知识,悉心指导论文需要注意的地方,对本篇论文的推导提供了很多的帮助,而且其对学术的不懈追求激励着我不断进取。
同时,作者衷心地感谢李傅山、王培合等各位老师的精心指导和帮助,在课上,两位老师传授了很多偏微分方向的知识,拓宽了自己的知识面,掌握了解决问题的一些基本方法。
最后,还要感谢同专业的同学对我的帮助,在我感到迷茫的时候,经过反复的讨论交流,给了我很多的启发。