1. 引言与准备
众所周知,半群的Green关系研究对于半群代数理论的形成和发展起了极其重要的作用,是研究半群的秩、组合数等的重要内容之一,许多学者对其进行了研究 [1] [2] [3] 。本文考虑
的Green关系,标准定义及未解释符号请参考文献 [4] 。
设
并赋予自然序,
是
上的全变换半群,
是
上的奇异变换半群。设
,若对任意
,有
,称
是保序(反序)的。设
和
分别为
上的保序变换之集和反保序变换之集,则
是
的子半群,称
为
上的保序变换半群。对任意 1 ≤ k ≤ n,令
,
,
则
和
是
的子集。
定义1:设
,令
,
显然,
在变换的合成下构成
的一个子半群,称之为单调保k变换半群。
定义2:设S是半群,
及
,则下列五个关系:
,
,
,
,
统称为半群S上的Green关系。显然,每个D_类是一些L_类与一些R_类的无交并。因此,每个D_类都具有矩阵结构(称为蛋盒图),该矩阵的每一行是一个R_类,每一列是一个L_类,行与列的交叉位置是由R_类与L_类共同决定的H_类,且有限变换半群中
。
2. 主要结果及证明
设
,对任意
,都有
,记作
。
设
,
,记:
;
;
易知,对于
(
表示
中k所在的核类),半群 ORn(k) 的元素
有如下标准表示:
情形1:元素
:
注1:当
时,
是
中最小的核类;当
时,
是
中最大的核类。
情形2:元素
:
注2:当
时,
是
中最小的核类;当
时,
是
中最大的核类。
定理1:设
,则
。
证明:假设
,则存在
,使得
且
,于是
且
,从而
且
。因此
。反之,假设
,
,令
则显然
且
。且
。因此,
。
定理2:设
,则
。
证明:假设
,则存在
,使
,
。任取
,若
,则
,从而。由
的任意性可得,
。同理可证得,
。因此,
。反之,假设
。不妨设
其中,
。下面分四种情形讨论:
情形1:设
,则
令
从而存在
,使
。
情形2:设
,则
令
从而存在
,使
。
情形3:设
,则
。
令
从而存在
,使
。
情形4:设
,则
,
,
从而存在
,使
。
综上,
。
定理3:设
,
,
或
。
证明:必要性 先证
。
假设
,则存在
,使得
且
。由定理(1) (2)可得,
,
,从而
。
再证
或
。
假设
,则存在
,使得
且
。则
,
,分以下八种情形:
情形1:设
,则
;
情形2:设
,则
;
情形3:设
,则
;
情形4:设
,则
;
情形5:设
,则
;
情形6:设
,则
;
情形7:设
,则
;
情形8:设
,则
。
充分性:假设
,设
其中,
,
,
。
情形1:
,分四种情形:
子情形1:设
,则
,令
从而存在
,使
,即
。
子情形2:
,则
,令
从而存在
,使
,即
。
子情形3:设
,
,则
,令
从而存在
,使
,即
。
子情形4:设
,
,则
,令
从而存在
,使
,即
。
情形2:
,分四种情形:
子情形1:设
,则
,令
从而存在
,使
,即
。
子情形2:设
,则
,令
从而存在
,使
,即
。
子情形3:设
,
,则
,令
从而存在
,使
,即
。
子情形4:设
,
,则
,令
因此,
且
,从而
。