1. 引言
复动力系统理论研究的是复解析映射迭代生成的动力系统,这一理论起源于Fatou和Julia的研究工作。有理函数在整个Riemann球面上的迭代开始于Fatou的一篇论文,他发现对几乎所有的点,有理函数
的轨道均收敛于0,但有一个Cantor集例外。稍后,Fatou和Julia独立地对有理函数的迭代进行了研究,发现了有理函数具有丰富的动力学性质,见参考文献 [1] 和 [2] 。本文主要介绍有理函数周期点附近的动力学性态,包括吸性周期点和超吸性周期点情形。
2. 预备知识
设f为Riemann球面
到自身的有理映射,次数
。任取一点
,称序列
为f在点
的轨道或正向轨道,其中
表示n个f的复合映射。
一般而言,有理映射f的正向轨道是一个无穷序列,其复杂性是复动力系统理论所要研究的中心问题之一。然而,对于特定的初始点
,轨道为有限点集时更值得关注。
若存在自然数p,使得
,则称
为f的周期点。把具有上述性质的最小的自然数p称为
的周期,称
为p阶周期点。这时
称为一条周期轨道,或周期循环。特别地,当
时,称
为f的一个不动点。
定义2.1 见参考文献 [3] 设
为有理映射f的周期为p的周期点。
称为
的特征值。进一步,根据
的取值情况可以对特征值进行如下分类:
1) 如果
,称
为吸性周期点,(
时称为超吸性不周期点);
2) 如果
,称
为斥性周期点;
3) 如果
且对某个整数n成立
,称
为有理中性周期点;如果
但是
,称
为无理中性周期点。
注 见参考文献 [4] 同一条周期轨道上的不同周期点具有相同的特征值。设M为
上的非退化的Mobius变换(即次数为1的有理映射),对于有理映射f,称
为f的共轭映射。如果
为f的p阶周期点,易验证
也为
的p阶周期点,且对应的特征值相等。在上述定义中,当
时,特征值
的计算事实上正是借助共轭变换
来实现的。
我们称函数
与函数
是共形共轭的,若存在共形映射
,使得
,即
.
在此定义下映射f和g在不同坐标系下被认作同一映射。这一定义也意味着迭代函数
和
也是共轭的,即
,同样有
和
共轭,即
。注意
将函数f的周期点映射到g的周期点。
解析映射在周期点附近迭代性态的研究起源于1884年Koenigs的工作、1897年Leau的工作和1903年Bottcher的工作,见参考文献 [5] 和 [6] 。本文以下主要研究f在0点的局部迭代动力学性质。
3. 周期点附近的动力学性态
如果
是有理映射g的一个p阶周期点,易见可以通过一个Mobius变换将
共轭于一个以0为不动点的有理映射f,且在
附近f具有如下展开式:
. (3.1)
在0点的邻域上,当
时,f近似于函数
,当
,
时,f近似于函数
,这里是否一定存在g到f的共轭函数
?答案依赖于函数f和乘子
。
定理3.1 设f由(3.1)式表示,
,则存在
的一个邻域U及唯一一个共形映射
,这里
,使得
,且满足:
证明:考虑辅助函数
,它定义在
附近。
首先证明
在
某个邻域内一致收敛。取常数
使得
,再取
的一个小邻域
,只要
充分小,易见当
时,有
,故
。所以,对任意自然数
,有
.
又由(2.1)可见,当
充分小时,存在常数
,使得
时有
,
故
时,
.
从而有
.
由
知,
在
内是一致收敛的Cauchy序列。记
为
的极限函数,取
,其中
为充分小的圆盘,使得
在其上为共形映射。易见
,且满足
。证毕。
定理表明f在0点局部共轭于线性映射
,这时f在0点附近与
有相应的迭代性质,这就给出f在0点附近的局部动力学模型。
进一步,假设解析映射 以
为超吸性不动点,即f在
附近具有如下展开式:
. (3.2)
则有如下定理:
定理3.2 设f由(3.2)式表示,则存在
的一个邻域U及唯一一个共形映射
,这里
,使得
,且满足:
证明:取
的邻域
充分小,使得
,且f在
内仅以
为零点。由此可见,f在
内的阶数为k,
在
的阶数为
。所以,可以取定
的一个分支,记为
,它是
上的单值解析映射,
,
。下证
在
内一致收敛。考虑
,
这里
。当
充分小时,对于
,有
,
且
,所以有
.
这说明
在
上一致有界,故
为
上正规族。任取
的一个收敛子序列
,由于
,
且在
内
,
,
一致有界,故
.
这说明
的极限函数满足方程
。将(2.2)式代入方程,比较两边系数即可导出极限函数的唯一性。故
在
上一致收敛于极限函数
。证毕。
定理表明在f的超吸性周期点附近,
局部共轭于映射
,这是超吸性周期点的局部动力学模型。
基金项目
大学生创新创业训练计划项目(201710452006),国家自然科学基金项目(11701250)。
NOTES
*通讯作者。