1. 引言
模糊集 [1] 的概念首先是由Zadeh. L. A提出的,它的提出开辟了一个新的数学研究方向,使得数学的发展又前进了一步。文献 [2] [3] 给出了L-fuzzy偏序集上的L-fuzzy定向集及L-fuzzy domain的概念,但这种模糊的方法比较复杂。文献 [4] 弥补了这一缺陷,重新定义了模糊dcpo和模糊domain,这很大程度上是对文献 [2] [3] 的一种简化。文献 [5] 引入了模糊定向极小集和模糊序同态的概念,给出了模糊定向极小集的若干性质和等价刻画。文献 [6] 引入了一致模糊偏序集,进而给出一致模糊完备集和一致模糊Domain的概念。本文在以上文献的基础上,主要是在文献 [6] 的基础上引入一致模糊极小集的概念,其次给出一个模糊序同态的概念,讨论在模糊序同态下一致模糊极小集的若干性质和等价刻画。
2. 预备
定义2.1 [2] :设
是非空偏序集,
为映射,称
是
上的一个模糊偏序关系,若
满足:
1) 自反性:
,
;
2) 传递性:
,
;
3) 反对称性:
,
;
称偶对
为模糊偏序集,简称模糊集。
例2.1 [2] :设
为非空集合,定义
为
,
定义2.2 [3] :设
是模糊偏序集,
,
,如果:
1)
,
;(相应的,
,
)
2)
,
界),记作
(相应的,
)。
定义2.3 [3] :设
是模糊偏序集,
,若
,
(
),则称
为模糊上集(模糊下集)。
定义2.4 [4] :设
是模糊偏序集,
,定义
为:
,
(
)。
对于
,
(称为
的特征函数)定义为
,若
;否则为0。
定义2.5 [4] :设
,
是模糊完备集,映射
称为模糊Scott连续映射,如果
是保模糊序的,对任意模糊定向集
,
。其中,
为
,
,
。称为模糊向前算子。相反地
,令
,称为模糊向后算子。即
。
定义2.6 [6] :设
为模糊偏序集,
为模糊子集,若
,
满足:
1)
;
2)
。
则称
为一致模糊偏序集。
上的一致模糊偏序集的全体记为
,若
还是一个模糊下集,则称
为一致模糊理想,全体一致模糊理想记为
。
定义2.7 [6] :设
为模糊偏序集,若
,
存在,则称
为一致模糊完备偏序集。记为UFCPO。
定义2.8 [6] :设
为UFCPO,定义其上的一致模糊way-below关系为,
,
。
称
为
上的一致模糊way-below关系,且
。如果
,
且
,则称
为一致模糊连续偏序集或一致模糊Domain。
3. 主要结果
定义3.1:设
为UFCPO,
且
,如果
满足:
1)
;2)
,
,
。
则称
为
的一致模糊极小集。
定理3.1:设
为UFCPO,
且
,则下列条件等价:
(1)
是
一致模糊极小集;(2)
,
且
。
证明:
,
。因为
,故
,所以
,即
。
,
,
。
引理3.1:设
为UFCPO,
,若
,满足
和
,则
且
。
证明:
,
。
从而
,有
。
因此
是一致模糊的,故为一致模糊理想。又因为
。
同时
,故
。
由定理3.1及引理3.1易到下面的定理3.2和定理3.3。
定理3.2:设
为UFCPO,则
是一致模糊domain当且仅当
,
有一致模糊极小集。
定理3.3:设
为UFCPO,若
,
有一致模糊极小集,则
是
的最大一致模糊极小集。
定理3.4:设
为UFCPO,则下列条件等价:
(1)
是一致模糊Domain;
(2)
,
有一致模糊极小集;
(3)
,
满足
且
,使得
为
的一致模糊极小集。
证明:(1)
(2)若
为一致模糊domain,由定义3.1知
,
是
处的一个一致模糊极小集。
(2)
(3)由定理3.1即得。
(3)
(1)由条件(3)知
为一致模糊极小集,故
为一致模糊domain。
定义3.2:设
,
是UFCPO,称映射
为一致模糊Scott连续映射,如果
是保模糊序的,即
,
。其中
为
,
,
。
定义3.3:设
是UFCPO,
是映射,如果
是一致模糊Scott连续映射且
保一致模糊way-below关系,则称
是一个模糊序同态。
定义3.4:设
是UFCPO,
是映射,若
,当
是
的一致模糊极小集时,
是
的一致模糊极小集,则称
保一致模糊极小集。
定理3.5:设
是一致模糊Domain,
为保模糊序的映射,则下列条件等价:
(1)
保一致模糊极小集;
(2)
是
的一致模糊极小集;
(3)
是一致模糊Scott连续映射且
;
(4)
是模糊序同态。
证明:
由
为
的一致模糊极小集,
为保一致模糊极小集映射,故
为
的一致模糊极小集。
显然成立。下证
是一致模糊Scott连续映射。
,有
。
。
设
且
为
的一致模糊极小集,则
且
。由
保模糊序和一致模糊way-below关系,有
,故
是一致模糊理想。而
一致模糊Scott连续,故
,进而
是
的一致模糊极小集。