1. 引言
在本文中,假设读者熟知Nevanlinna值分布理论的相关基础知识以及常见符号 [1] 。设
是复平面上的亚纯函数,a为任意的复数,Nevanlinna定义a关于
的亏量为
,当
时,a称为
的Nevanlinna亏值.Valiron进一步定义
,称为a关于
的Valiron亏量,当
时,a称为
的Valiron亏值。
1970年,Hyllengren [2] 证明了对于有穷级亚纯函数和任意
,集合
一定是一个有穷
测度集。即存在一列复数
,使得上述集合含于
。
记
为
内
的单重零点密指量,杨乐 [3] 引进了
,当
时,a称为
的Nevanlinna拟亏值。之后杨乐又定义了
,当
时,a称为
的Valiron拟亏值,并且证明了
定理A [4] :设
为开平面有穷级的超越亚纯函数,若
,则存在一列复数
,使得集合
含于
其中
。
之后Furuta和Toda他们引进了 [5]
。
当
时,a称为
的修正Valiron亏量。
相对于杨乐的做法,方明亮、郭辉定义了
。
当
时,a称为
的修正Valiron拟亏值。
相对于修正的Valiron亏值以及拟亏值,对于超越亚纯函数可以把“有穷级”的限制条件去掉。从而得到以下定理
定理B [6] :设
是复平面上的超越亚纯函数。若
,则存在一列复数
,使得集合
含于
其中
。
对于定理A,去掉“有穷级”是否可以呢?刘丹等人得出如下定理
定理C [7] :设
是复平面上满足
的超越亚纯函数。若
,则存在一列复数
,使得集合
含于
其中
。
本文将定理C进行了推广和扩展,使得运用更加广泛。即
定理1:设
是复平面上满足
的超越亚纯函数。若
,则存在一列复数
,使得集合
含于
其中
。即
为一个有穷
测度集。
2. 几个引理
引理1 [9] :设
是
内的亚纯函数。若
,则对于
有
。
引理2 [9] :对于
,则有
。
引理3 [4] :设
为复平面上的超越亚纯函数。若
,当
时,
,则集合
含于集
。
证:如果对某个复数a有
,则一定存在一列
趋于
,使得对每个
都有
。
对于每个
都存在相应的k,使得
,则
于是存在一列值
使得上式成立。证毕。
引理4 [4] :设
为复平面上的亚纯函数,
为q个判别的有穷复数,记
。如果
;
,则有
。
其中
证:根据Nevanlinna第二基本定理 [8]
。
其中
。 (1)
可得到
。
设
,以及
,可以得到
。则有
。
从而可得
(2)
且
(3)
将(1)和(3)带入(2),即可得到引理4的结论。证毕。
引理5:设
是复平面上满足
的亚纯函数,
为q个互相判别的有穷复数,
。如果
;
,则存在充分大的正数
,且
,使得当
时,有
。
证:由引理4可得,我们只要对其中的
进行适当的估计即可。
由于
不妨设
,
为常数。
当r充分大时,
,故
。取
适当大使得
,且
。当
时,根据引理1可得
对于项
,有
由
,且
,可以看出
。
则当
时,
就有如下的估计:
证毕。
引理6:设
是复平面上满足
的超越亚纯函数。若
,则存在一个充分大的正数
,使得对于每个
,集合
含于至多
个半径为
的小圆内。
证:由于
是复平面上的超越亚纯函数,所以
显然
。
我们取
,且
,有
(4)
其中
由引理5确定。
如果引理6的结论不成立,则必定存在一个正数
和
个点
使得
,
。
由引理5可得
,
于是有
。
结合(4)和上式可得:
,矛盾。证毕。
3. 主要结果的证明
取正整数
,使得
,其中
由引理6确定。设
为引理3中定义的序列。按照引理3,集合
应含于
,
而后者又含于
。
由引理6,对于每一个固定的
,集合
应该含于至多
个半径为
的小圆
内。当
变化时,将所有的小圆重新记为
。
的半径为
,
于是定理1得证。
基金项目
国家自然科学基金(No. 11371149, No. 11701188)资助。