1. 背景
排队论的基本思想是从1910年丹麦电话工程师爱尔朗在解决自动电话问题时形成的,50年代初,美国数学家费勒提出关于生灭过程的研究,英国数学家肯德尔提出嵌入马尔科夫链理论,以及排队论的分类方法,为排队论奠定了理论基础 [1] 。如今,排队论作为运筹学的一个重要分支,它的应用在我们生活中处处可见,比如说,超市的收银服务系统就是一个随机服务系统。本文就是在用排队论的相关知识来优化超市的收银服务系统,使超市合理利用资源,节约运营成本。
现在大大小小的超市数不胜数,人们除了关心商品的价格和质量问题,在激烈的市场竞争中,在商品的质量和价格基本相同的条件下,顾客对于超市的服务质量要求也越来越高,所以从超市的角度研究如何提高服务质量,吸引更多的顾客很重要。超市的收银台作为服务人员和顾客的接触点,收银台过多,虽然可以提高顾客的满意度,但是不利于超市的成本最优,甚至导致资源浪费,收银台过少,就会出现顾客结账拥挤状态,这不是人们理想的购物环境,可能会导致顾客流失。因此,优化收银台台数,既能降低超市的成本支出,提高服务质量,又能提高顾客的满意度,优化购物环境,吸引更多的客户,提高超市整体效益。本文应用排队论理论来考虑超市收银台数最优设计问题,通过建立超市排队系统优化模型,以乌鲁木齐市某好家乡超市为例,优化忙期和非忙期各个不同时段开放的服务台数,给商家提供合理建议。
2. 预备知识
从排队论的相关参数和排队系统的运行指标等介绍了一些预备知识并在此基础上对M/M/C排队模型进行了系统介绍,为后面的研究做基础工作。
2.1. 运行指标
平均队长/人:系统内顾客数的数学期望,记作
;平均排队长/人:系统内等待服务的顾客数的数学期望,记作
;平均逗留时间/min:顾客在系统内逗留时间的数学期望,记作
;平均等待时间/min:指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望,记作
;平均忙期/min:指服务机构连续繁忙时间长度的数学期望,记为
[2] 。
2.2. M/M/C排队模型系统介绍
2.2.1. M/M/C排队系统的相关指标
设
表示单位时间内顾客的平均到达数,
表示单位时间内被服务完离去的平均顾客数,可得
表示相邻两个人到达的平均间隔时间,
表示对每个人的服务时间。相关公式有:
或
。
或
。
,
。
,
。
只要求得
的值就可得
、
、
、
。
令,
,
。
当整个排队系统稳定时,即
,顾客在系统是中的平均等待时间为
,
平均等待队长为
。
设顾客所允许的最长平均等待时间为
,所能允许的最长队长为
,所能容忍的系统中最长平均等待队长为
,可得
的最小取值就是服务台数量的最优数,为
由上可得
,
。
2.2.2. 泊松分布
在排队论中常常用到最简单流这个概念。指的是一段时间内,有k个顾客到达服务系统的概率服从泊松分布,即
当
时有
。
2.2.3. 负指数分布
若用
代表依次服务完毕离去的两个顾客的间隔时间t的概率密度函数(
),用
代表t的概率分布函数,则有
3. M/M/C模型超市服务系统的应用
本文对乌鲁木齐市某家超市进行数据调查,该超市一共有20个收银台,分别对节假日和非节假日两个时期进行调查,取15个时间段,每个时间段抽取400个样本进行统计,整理得出下表,非节假日数据见表1、表2,节假日数据见表3、表4、表5、表6。
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Table 1. Statistics on the number of non-holiday customers coming in 1
表1. 非节假日顾客到来人数统计频数1
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Table 2. Statistics on the number of non-holiday customers coming in 2
表2. 非节假日顾客到来人数统计频数2
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Table 3. Statistics of the number of arrivals of holiday customers 1
表3. 节假日顾客到来人数统计频数1
通过对表1~表6的分析计算可以得出顾客平均到达率,如下表,表7为单位时间内非节假日和节假日顾客到达率,表8和表9分别为非节假日/节假日顾客到达率及开放台数。其中
和
分别为非节假日和节假日顾客到达均值;
和
分别为非节假日和节假日收银台数。
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Table 4. Statistics of the number of arrivals of holiday customers 2
表4. 节假日顾客到来人数统计频数2
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Table 5. Statistics of the number of arrivals of holiday customers 3
表5. 节假日顾客到来人数统计频数3
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Table 6. Statistics of the number of arrivals of holiday customers 4
表6. 节假日顾客到来人数统计频数4
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Table 7. Customer arrival rate per unit time
表7. 单位时间内顾客到达率
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Table 8. Customer arrival rate and number of corresponding open service desks during non-holiday holidays
表8. 非节假日各时段顾客到达率及相应开放服务台数量
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Table 9. Customer arrival rate and number of corresponding open service desks during each holiday period
表9. 节假日各时段顾客到达率及相应开放服务台数量
从表8和表9可以看出,该超市收银台开放台数不太合理。例如在非节假日期间,13:00~14:00为低峰期,收银台开放数目为11,而19:00~20:00为高峰期,开放数也为11,这样可能会造成低峰期资源浪费,而高峰期出现拥堵,服务质量下降的情况。因此该超市服务台系统设置很不合理,需要对其进行优化。为了研究每个顾客服务时间的概率分布,我们随机调查顾客服务时间,整理得表10,并且抽查了一些顾客询问他们能容忍的最长的等待时间和等待队长。见表11~表14。
根据表11~表14可以计算出在非节假日期间顾客能忍受的最长平均等待时间为9.13 min,平均等待队长为10.09人;在节假日期间顾客能忍受的最长平均等待时间为10.04 min,平均等待队长为10.52人。
在之前计算的非节假日期间顾客能忍受的最长平均等待时间为9.13 min,平均等待队长为10.09人;在节假日期间顾客能忍受的最长平均等待时间为10.04 min,平均等待队长为10.52人。如表15和表16所示,该超市在有些时段开放的服务台数不合理,出现服务台开放过多或过少的现象,比如在非节假日8:00~9:00,根据顾客的平均逗留时间7.53 min和之前计算的9.13 min比较差距很大,可能会造成资源浪费现象。在节假日8:00~9:00,根据顾客的平均逗留时间15.53 min和之前计算的10.04 min比较差距很大,可能会造成顾客的损失现象。
因此,将对该超市的收银台排队系统进行优化,如下式:
.
.
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Table 11. The longest waiting time that can be tolerated during holidays
表11. 非节假日所能容忍的最长的等待时间
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Table 12. The longest waiting captain that can be tolerated on holidays
表12. 非节假日所能容忍的最长的等待队长
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Table 13. The longest waiting time that holidays can tolerate
表13. 节假日所能容忍的最长的等待时间
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Table 14. The longest waiting captain that the holiday can tolerate
表14. 节假日所能容忍的最长的等待队长
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Table 15. Indicators of the non-holiday system
表15. 非节假日系统的各项指标
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Table 16. Indicators of the holiday system
表16. 节假日系统的各项指标
,
.
如表17和表18所示,用计算机编程来计算该超市节假日和非节假日应开的服务台数。
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Table 17. Number of service desks and corresponding parameters that should be opened during non-holiday holidays
表17. 非节假日应开放的服务台数量及相应参数
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Table 18. Number of service desks and corresponding parameters that should be opened during holidays
表18. 节假日应开放的服务台数量及相应参数
在之前的处理数据工作的基础上,通过建立数学模型,并用计算机相关软件对该超市不同时段开放的服务台数进行优化,得出表17和表18的数据。这样不仅合理利用资源,还能提高顾客的满意程度。
4. 总结
本文主要是利用排队论的知识对超市收银服务系统建立相应的数学模型,根据实际情况对收银服务系统进行优化,得出超市开放收银台的最佳数目,分别计算在不同服务台的情况下系统的相关指标,进而根据实际情况对系统进行最优化设计。得到了在不同时间段系统达到最佳运营状态的服务台数。但是其中有不足:
1) 虽然是采用随机的方法调查抽取的实际数据,但是调查数据仍然有很大的主观因素,而且对服务时间的调查存在一定的误差。在对系统进行优化时,本文只考虑顾客的平均等待时间这一种情况,而实际中,顾客在不同时间段的等待时间可能会不同,需要进一步的研究。因此数据的采集和分析还需要更严谨的数学研究过程。
2) 本文是在一般的情况下建立模型的,特殊情况没考虑。比如说开业前和倒闭时。
该模型具有一定的普遍性,能够应用到其他领域,而且对其他的模型应用也能起到一定的启示作用。
NOTES
*通讯作者。