2. 预备知识
定义1 设G是一个群,H是G的子群。称H在G中弱Φ-可补,若G中存在一个子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H)。
引理1 假设H是群G的子群,N, E是G的正规子群且H在G中弱Φ-可补。则下列的断言成立。
1) 若H ≤ M ≤ G,则H在M中弱Φ-可补。
2) 若N ≤ H,则H/N在G/N弱Φ-可补。
3) 若
,则HE/E在G/E弱Φ-可补。
证明 由H在G中弱Φ-可补,可知G中有子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H)。
1) 因为H ≤ M,所以
且
。故H在M中弱Φ-可补。
2) 因为
且
。因此H/N在G/N弱Φ-可补。
3) 因为G = HT,所以
。因为
,所以
。故HE/E在G/E弱Φ-可补。
引理2 ( [11] ,引理3)设p是群G阶的素因子,n是正整数且满足pn+1不整除|G|。若
,则G为p-幂零群。
3. 主要结论
定理1 设G是一个群,p是|G|的素因子且
。如果G中存在一个Sylow p-子群P,使其每个阶为pt (其中t为正整数且t ≤ n)或者2pt (P是非交换2-群且|P|/pt > 2)子群H在G中弱Φ-可补,则G为p-幂零群。
证明 设结论不成立,并令G是极小阶反例。由引理2得pn+1||P|。通过下列断言完成定理1的证明。
1) G是极小非p-幂零群。
设L是G的真子群。因为|L|整除|G|,所以
。如果pn+1不整除|L|,那么由引理2得L为p-幂零群。如果pn+1||L|。令Lp是包含在P中L的Sylow p-子群,H是Lp的pt或者2pt(M是非交换2-群且|Lp|/pt > 2)阶子群。则对应的H是P的pt或者2pt (P是非交换2-群且|P|/pt > 2)阶子群。由定理1的条件及引理1,H在L中弱Φ-可补。从而L满足定理1的条件。由G的选择得L为p-幂零群。
2) G = [P]Q,其中P是G的正规Sylow p-子群,
,P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群。
由1) 及( [10] ,定理3.4)得,2) 成立。
3) 设N是G的一个极小正规子群,则N为初等交换p-群。
因为G是P和Q的半直积,所以G为可解群。从而G的极小正规子群为初等交换r群。如果pn+1不整除|G/N|,由引理2得G/N为p-幂零群。当pn+1整除|G/N|时。如果r = q。设M/N是PN/N的子群且满足|M/N| = pt或者2pt (PN/N是非交换2-群且|PN/N|/pt > 2),则存在P的子群H且|H| = pt或者2pt使得M = HN。若PN/N是非交换2-群。因为P同构于PN/N,所以P是非交换2-群。由定理1的条件及引理1,M/N在G/N中弱Φ-可补。由G的极小选择得G/N为p-幂零群。由于N为q-群,所以G为p-幂零群。这一矛盾说明r ≠ q。从而N为初等交换p-群。
4) G/N为p-幂零群。
对|N|分三种情况考虑。①|N| > pt。设H是N的真子群且|H| = pt。因为N为初等交换群,所以H为初等交换群,从而Φ(H) = 1。由定理1的条件,存在G的子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H) = 1。因为N为交换群,所以N ∩ T正规于N。由N的正规性得N ∩ T正规于T。而G = HT = NT,故N ∩ T正规于G。由N的极小正规性得N ∩ T = 1或者N ∩ T = N。如果N ∩ T = 1。由H ∩ T = 1且H ≤ N,故H = N。这与H是N的真子群矛盾。如果N ∩ T = N。则G = NT = T。故H ∩ T = H。这与H ∩ T ≤ Φ(H)矛盾。②|N| < pt。设H/N是P/N的子群且|H/N| = pt/|N|或者|H/N| = 2pt/|N| (如果P/N是非交换2-群且
)。则H是P的子群且|H| = pt或者|H| = 2pt (相应地P是非交换2-群且|P|/pt > 2)。由定理1的条件及引理1,H/N在G/N中弱Φ-可补。又因为
为p-幂零群,所以G/N满足定理1的条件。由G的极小选择,G/N为p-幂零群。③|N| = |D|。因为N为初等交换群,所以Φ(N) = 1。由定理1的条件知,N在G中弱Φ-可补。即存在G的子群T使得G = NT且N ∩ T ≤ Φ(N) = 1。故T是G的真子群。由1)知,T为p-幂零群。因为G/N同构于T,所以G/N为p-幂零群。
5) 最后的矛盾。
因为N正规于G,所以NΦ(P)/Φ(P)正规于G/Φ(P)。由2)和3)得N ≤ P。P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群,所以NΦ(P)/Φ(P) = P/Φ(P)或者NΦ(P)/Φ(P) = 1。若NΦ(P)/Φ(P) = P/Φ(P),则P = NΦ(P) = N为初等交换群。设H是P的pt阶子群。则H为初等交换群,从而Φ(H) = 1。由定理1的条件,存在G的子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H) = 1。因为P为交换群,所以P ∩ T正规于P。由P的正规性得P∩T正规于T。而G = HT = PT,故P ∩ T正规于G。由P = N的极小正规性得P ∩ T = 1或者P ∩ T = P。如果P ∩ T = 1,由于H ∩ T = 1且H ≤ P,故H = N。这与|H| = pt < pn+1且pn+1整除|P|矛盾。如果P ∩ T = N,则G = PT = T。故H ∩ T = H。这与H ∩ T ≤ Φ(H)矛盾。若NΦ(P)/Φ(P) = 1,则N ≤ Φ(P)。由P的正规性得,Φ(P) ≤ Φ(G)。由4) G/Φ(G)为p-幂零群,故G为p-幂零群。这一最后的矛盾完成定理1的证明。
推论1 设G是一个群,p是|G|的素因子且
。如果G的某个Sylow p-子群P的每个p-阶子群和4阶子群(如果P是非交换2-群且|P| > 4)在G中弱Φ-可补,则G为p-幂零群。
注1 在推论1中,条件
不可以去掉。比如三次对称群S3,p = 3时。每个p阶子群在S3弱Φ-可补,但S3不是p-幂零群。
注2 在推论1中,G的每个p阶子群和4阶循环子群在G中弱Φ-可补是G为p-幂零群的充分条件不必要条件。比如群G = [A]B,其中|A| = 5,
,
。则G是2-幂零的且
。假设T是
在G中弱Φ-可补。即
且
。因为
,所以
在G中可补充的。故
在B中可补充的,这与B是4阶循环群矛盾。所以
在G中不是Φ-可补的。
推论2 群G的每个极小子群和4阶子群(如果存在)在G中弱Φ-可补,则G为超可解群。
证明 设p1是|G|的最小素因子,则G的每个p1阶子群和4阶子群在G中弱Φ-可补。由推论1得,G为p1-幂零群。设T为G的一个正规Hall
子群且p2是|T|的最小素因子。则T对p2来说满足推论2的条件。故T有正规Hall -子群。依次类推下去,所以G是具有Sylow塔的群。故G为可解群,从而G的极小正规子群N为初等交换p群,其中p为|G|的素因子。从而N的任意非单位子群的Frattini子群为1。假设推论2结论不成立,并设G为极小阶反例。设L是G的真子群,由推论2的条件及引理1,L的每个极小子群和4阶子群(如果存在)在L中弱Φ-可补。即L满足推论2的条件。由G的极小选择,L为超可解群。对|N|分两种情况考虑。①|N| > p,设H是N的真子群且|H| = p。由推论2的条件知,H在G中弱Φ-可补。即存在G的子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H) = 1。因为N为交换群,所以N ∩ T正规于N。由N的正规性得N ∩ T正规于T。而G = HT = NT,故N ∩ T正规于G。由N的极小正规性得N ∩ T = 1或者N ∩ T = N。如果N ∩ T = 1,由于H ∩ T = 1且H ≤ N,故H = N。这与H是N的真子群矛盾。如果N ∩ T = N,则有G = NT = T。故H ∩ T = H。这与H ∩ T ≤ Φ(H)矛盾。②|N| = p。由推论2的条件知,N在G中弱Φ-可补。即存在G的子群T使得G = NT且N ∩ T ≤ Φ(N) = 1。故T是G的真子群。从而T为超可解的。故
为超可解群。由( [12] ,引理2.3),G为超可解群。
定理2 设G是一个群,p是|G|的素因子且
。F为包含p-幂零群系的饱和群系。如果存在G的一个正规子群E使得
且E中存在一个Sylow p-子群P,使其每个阶为pt (其中t为正整数且t ≤ n)或者2pt (P是非交换2-群且|P|/pt > 2)子群H在G中弱Φ-可补,则
。
证明 假设结论不成立,G为极小阶反例。由引理1知,P的每个阶为pt (其中t为正整数且t ≤ n)或者2pt (P是非交换2-群且|P|/pt > 2)子群H在E中弱Φ-可补。由定理1知,E为p-幂零群。设T为E的正规Hall p'-子群。则T特征于E。由E的正规性,得T正规于G。下面对T分两种情况讨论。
T ≠ 1。因为(G/T)/(E/T)同构于G/E且
,所以
。因为P是E的Sylow p-子群且T是E的正规Hall p'-子群,所以E = PT且E/T同构于P。设M/T是E/T的子群且|M/T| = pt或者2pt (如果E/T是非交换2-群且|PT/T|/pt > 2)。则存在P的子群H且|H| = pt或者2pt (如果P是非交换2-群且|P|/pt > 2)使得M = HT。由定理2的条件及引理1,M/T在G/T中弱Φ-可补。由G的极小选择,
。而T是p'-子群,故
。
T = 1。则E = P为p-群。于是PQ是G的一个子群,其中Q为G的任一Sylow q-子群(q ≠ p)。由引理1及定理1知,PQ是p-幂零的。从而Q正规于PQ。设N是包含在P中的G的任一非单位正规子群,则
。从而
,其中Gp为G的任一Sylow p-子群。故[N, G] < Gp。从而存在G的正规子群L使得N/L是G的主因子且[N, G] ≤ L。由此得到N/L ≤ Z(G/L)。由N的选择、
及F为包含p-幂零群系的饱和群系,所以
。
这一最后的矛盾完成了定理2的证明。
基金项目
河南省高等学校青年骨干教师培养计划(2016GGJS-204)。