1. 引言
在数学和物理研究中,行列式和矩阵经常进行各种形变和推广。2000年,潘庆年 [1] 定义了量子行列式,并把经典行列式的一些性质推广到量子行列式。文献 [2] 给出了行列式乘法的一个推广公式。文献 [3] 利用行列式按一行展开的性质,定义了一般矩阵的广义行列式。文献 [4] 给出了矩阵乘积的广义行列式的一般公式。基于这些研究,本文将 [2] 的结果推广至量子行列式的情形。同时,进一步定义量子矩阵的广义量子行列式,并把 [3] [4] 的结果推广至广义量子行列式的情形,构造相应行列展开定理及矩阵乘积的广义量子行列式公式。
2. 有关定义
定义1 [1] 设A是特征为零的域k上的一个代数,A为A上一个方阵
取定k上一个非零元q,定义A的量子行列式或q-行列式
如下:
,
其中
表示σ的长度,所谓σ的长度指当σ分解成对换的乘积时,有一种分解使它能包含对换的个数极小,这个极小个数就称为σ的长度。
定义2 [1] 代数A上一个n阶方阵
称为n阶q-矩阵,如果对于任意的
,
,
换句话说,如果A的每一个2阶子矩阵都是q-矩阵,则称A为q-矩阵。
文献 [3] 利用行列式按一行展开的性质,定义了一般矩阵的广义行列式,类似可定义量子矩阵的广义量子行列式如下。
定义3 若矩阵
是量子矩阵,定义其广义量子行列式
如下:
若A是
量子矩阵,则
;
若矩阵A为
量子矩阵,则
,其中
,
是
的余子式,即A中去掉第1行第i列后其他元素按原序组成的
矩阵的广义量子行列式;
若矩阵A为
量子矩阵,当
时,
,其中
,
是A中去掉第1行第i列后,其他元素按原序组成的
矩阵的广义量子行列式。当
时,
。
3. 主要结果
把经典行列式的倍加性质推广,可得量子行列式的相应性质如下。
定理1 设A是代数A上的n阶量子矩阵,若A中的第
行和第
列组成的矩阵
中不同行不同列的元素乘积都可交换,且b是代数A的中心元,则把A中第i行的b倍加到第j行后,量子行列式不变。
证明 由定义1得,若
,把A中第i行的b倍加到第j行后的量子行列式展开为
,
考虑其一般项
.
由条件得,
相等。由定义2得,
与
能成对抵消,则量子行列式不变,结论成立。
文献 [2] 的定理2把行列式乘法公式
推广,得到了更一般的结果。实际上,若把这个结果放到量子行列式上讨论,结论在一定条件下仍成立。
定理2 设矩阵
,
是代数A上的量子矩阵,且矩阵A与B的元素可交换,设
,作一个m阶量子行列式
,则当
时,
,其中
,
;当
时,
。
证明 为方便起见,只证明
时的情形,当
时,证明过程类似。
设A与B为
矩阵且A与B的元素可交换,
。若
,由定义1,2易得
。若
,对列数n作数学归纳法。
当
时,由定义1及定义2得,
.
假设当
时,命题成立,即
.
则当
时,
故结论成立。
文献 [3] 的命题1给出了广义行列式的展开式,文献 [4] 进一步得出矩阵乘积的广义行列式。本文将这些结果推广至广义量子行列式情形,得定理3、4及推论1。
定理3 设矩阵A是代数A上的
量子矩阵,则A的广义量子行列式为
,
其中
。
证明 对矩阵A的行数m作数学归纳法。
当
时,由定义3,
,结论成立。
假设矩阵A的行数小于m时,结论成立。则当行数为m时,由定义3,
且对任意的
,
,结合定义1得,
,
其中
,
,
,
为
中小于
的个数,则
.
由定理3易得以下推论成立。
推论1 设矩阵A是代数A上的
量子矩阵,则A的广义量子行列式为
,
其中
是A的第
行和第
列组成的m阶矩阵的量子行列式。
定理4若
为代数A上
量子矩阵,
为代数A上
量子矩阵,则乘积AB的广义量子行列式为
,
其中
为
中m个元素按自然顺序组成的m级排列,
为B中第
列构成的
子矩阵。
证明 由推论1知,
,
其中
为乘积AB的第
行和第
列组成的m阶矩阵的量子行列式。由矩阵乘法的定义得
,则结论成立。
NOTES
*通讯作者。