1. 引言
对流占优问题的计算在流体动力学中有着重要的意义。结构网格下,已有很多NVF (Normalized Variable Formulation) [1] 高分辨率格式,如SMART [2] ,CLAM [3] ,HOAB [4] ,CUBISTA [5] ,OSHER [6] ,这些高阶格式不仅具有很好的精度,而且满足对流有界性,并在间断解处不产生非物理震荡。
而当遇到的问题具有不规则几何时,结构网格的几何适应性很差。这样NVF高分辨率格式无法直接运用。因此将NVF格式推广到无结构网格下,对于数值计算十分重要。M. S. Darwish [7] 提出的非结构网格下NVSF (Normalized Variable and Space Formulation)格式是这方面的基础研究工作之一。在 [7] 中指出,在无结构网格下,如图1所示,计算界面f的值不仅与相邻的节点的值有关,也与这些节点所在的位置有关。
本文基于三角形网格下,在 [7] 的研究基础上,利用CBC (Convection Boundedness Criterion) [8] 对流有界性准则,构造一个新的NVSF格式,,此格式在间断处很好地抑制非物理震荡。本文的具体安排如下:第二节为非结构网格下格式的构造,第三节为三角网格下的变量关系,第四节为时间离散方法,第五节为具体的数值算例及结果讨论,第六节给出结论。
2. 非结构网格下格式的构造
2.1. 非一致网格下的NVSF的正则化
在结构网格下,数值格式在对对流项离散时,一般会用到该界面相邻的三个节点。而在非一致网格下界面f的值不仅与相邻的节点的值有关,也与这些节点所在的位置有关。在非一致网格下,我们选取的节点为界面f的相邻的三个节点。如图1所示,U,C,D分别为f的上游,中心和下游节点,分别位于
,
,
处。这三个节点上的值为
,
,
,界面f的值为
,位于
处。在非一致网格下,
,由正则化变量定义:
得到
图2,图3分别为正则化前后的变量关系。通过正则化后我们看到
的值是依赖于
,
和
的值。
2.2. 对流项有界性准则
M. S. Darwish指出由Gaskell和Lau [8] 提出的对流有界性准则CBC是适用于非结构网格的。这个准则在正则变化的基础上指出,对于一个具有有界性的格式,满足以下条件:
(1)
关于精度问题,Leonard [9] 提出在结构网格上利用NVF得出的格式是满足二阶或三阶精度。在[9]
![](//html.hanspub.org/file/2-2810083x26_hanspub.png)
Figure 1. Three neighboring mesh points and the mesh face on unstructured meshes
图1. 非一致网格下三个相邻的节点及单元边界
![](//html.hanspub.org/file/2-2810083x27_hanspub.png)
Figure 2. The relationship between variables before the regularization
图2. 正则化前的变量关系
![](//html.hanspub.org/file/2-2810083x28_hanspub.png)
Figure 3. The relationship between variables after the regularization
图3. 正则化后的变量关系
中,一个格式为二阶精度的充分必要条件是其表达式过点
;而对于非一致网格(NVSF)的情况,所构造的格式是二阶精度的充分必要条件是其表达式过点
。图4为几种格式在结构网格下与非一致网格下的正则变量图。
2.3. 新格式的构造
由上面可知构造一个有界性的新格式首先要满足CBC准则,即式(1)。并且为保证构造的新格式具有二阶精度,必须通过点
。我们令
(2)
由上面可知此格式需满足:
![](//html.hanspub.org/file/2-2810083x33_hanspub.png)
Figure 4. Normalized Variable Diagram (NVD) for several linear schemes formulated using NVSF
图4. 利用NVSF构造的几种线性格式的正则变量图(NVD)
(3)
我们要构造的新格式与非一致网格下的Quick [7] 格式在处
的导数相同,即
(4)
将(3) (4)带入(2)式中解得
最后得到一个一致网格下的新格式,如图5新格式是满足CBC准则的。
非一致网格在退化为结构网格时,点
退化为点
,则得到结构网格下的新格式为
(5)
3. 三角形剖分的变量关系
现将计算区域利用EasyMesh进行三角形剖分,而这种剖分得到的是非结构网格。在这种三角形网格下,变量的关系如图6所示。其中f为相邻两个三角形界面的中点,U为相邻两个三角形其中的一个顶点,C,D分别为这两个相邻三角形的重心。利用EasyMesh进行三角形剖分时,生成每个三角形的顶点坐标,同时每一个三角形的重心坐标也可以计算得到,各个点之间的距离也可以得到。将构造的非一致网格下的新格式应用到这种非结构网格下时,首先可利用单元三角形面积积分来求
的值,还需知道上游
的值。现利用围绕顶点U的三角形重心处的值来估计
的值,记
为围绕U点各个三角形重心的值,
为U点到各个相邻三角形重心的距离,n为围绕U点的三角形个数,估计值式子如下:
![](//html.hanspub.org/file/2-2810083x47_hanspub.png)
Figure 5. New Format Curve and CBC Guidelines Area (area of dotted line)
图5. 新格式曲线与CBC准则区域(虚线区域)
![](//html.hanspub.org/file/2-2810083x48_hanspub.png)
Figure 6. The relationship between variables of the triangle mesh
图6. 三角形网格下的变量关系
4. 时间的离散
完成了关于空间导数的离散后,得到了关于时间t的一个常微分方程,即
。为了抑制非物理震荡,采用的是三阶TVD Runge-Kutta [10] 格式:
5. 数值算例
5.1. 线性对流方程
一维线性对流方程
,
,
(6)
给定初值
,
。
5.1.1. 情形1
首先给定以下的初值
,在区间
上求解方程(6),
,利用结构网格下的新格式(5)、SMART [2] 格式、MUSCL [11] 格式计算方程数值解,
分别取20、40、80、160、320。计算格式的
误差、
误差,同时算出数值精度阶(如表1),计算公式如下:
![](//html.hanspub.org/file/2-2810083x63_hanspub.png)
由表1可知,对于光滑解问题,结构网格下的新格式可以达到理论上二阶精度。
5.1.2. 情形2
对于上述的方程(6),选取间断初值
计算区间为
,等分为800等份,计算时间T为0.1,图7表明,结构网格下的新格式对间断解
的计算有很好的逼近效果。
5.2. 二维线性对流方程
下面将利用非结构网格下的新格式对二维对流方程进行求解,选取Doswell [12] 模型,
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 1. Errors and orders for several selected schemes
表1. 格式误差与数值精度阶对比
![](//html.hanspub.org/file/2-2810083x67_hanspub.png)
Figure 7. Comparison of numerical and exact results for the new condition
图7. 新格式的数值解与真实解
此数学模型在速度场中有稳定的切向速度
在计算的过程中,令
,并在该场中有
,
其中
为旋转中心,
表示区域内任意一点到中心的距离,角速度定义为
。选取计算区域为
,利用EasyMesh对计算区域进行三角形网格剖分,图8为剖分图。在这种剖分下得到14,818个单元三角形,7570个顶点,22,384条边。此模型的精确解为
参数
表示的是锋面的梯度,取
,得到的数值结果如图9。(a)显示了数值解的2D图,反应了锋面生成的漩涡形状,(b)显示了数值解的3D图像。
6. 结论
本文基于三角形网格和CBC准则构造一个新的NVSF格式,数值算例表明此格式可适用于非结构网格,并且在间断解处很好地抑制了非物理震荡。退化后的结构网格下的格式也有很好的精度。本文为无
![](//html.hanspub.org/file/2-2810083x80_hanspub.png)
Figure 8. Triangulation diagram of EasyMesh
图8. EasyMesh的三角形剖分图
(a)
(b)
Figure 9. Exact and numerical solutions of Doswell
图9. Doswell的数值解的2D、3D图像
结构网格下的问题提供了一个很好的解决方法。下一步的工作计划利用本文中的格式计算不同的对流扩散方程,比如二维浅水方程等。
基金项目
本文由内蒙古自然科学基金项目(2015MS0101)和内蒙古自治区人才开发基金项目(12000-1300020240)支持。
参考文献