1. 引言
设Г是一个图。其顶点集,图的全自同构群分别记为
,
。我们称图Г为弧传递图,如果
在其弧集合上传递。
设G是一个有限群。取
,称它为G的Cayley子集。设S满足
。定义群G关于S的Cayley无向图
,其中:
由定义可知,Г的度为
。Г连通当且仅当
。G的右正则表示
且作用在
上正则,即Cayley图是点传递图。为了方便,我们仍记这个正则子群为G。我们称Cayley图
关于G是正规的,如果
,否则称Г为非正规的。
单群上Cayely图的正规性问题一直都受到国内外学者们的极大关注。例如,李才恒教授在 [1] 中证明:除了7个例外,所有的有限非交换单群上的3度弧传递Cayley图都是正规的。基于这个工作,徐尚进教授等人在文献 [2] [3] 中证明:除交错群A47上的两个例外,所有有限非交换单群的连通3度弧传递Cayley图都是正规的。2016年方新贵教授等人在文献 [4] 中证明:除单群
上的两个例外,所有有限非交换单群上的4度2-传递Cayley图都是正规的。对于7度图,潘江敏教授等人于2017年,在文献 [5] 中证明:除了交错群A6,A20,A62,A83,所有有限非交换单群上具有可解点稳定子的7度弧传递Cayley图都是正规的,并且具体构造了这4个单群上的非正规Cayley图的例子。本文的一个工作将是计算交错群
上非正规弧传递7度Cayley图的全自同构群(即计算文献 [5] 中例子5.2中图的全自同构群)。
本文证明了如下定理:
定理1.1:设Г是T上7度S-弧传递Cayely图,其中S同构于A63,T同构于A62,则
。
2. 预备知识
设G是有限群,H是G的子群,
是H在G中的中心化子,是H在G中的正规化子。则有下面的引理,我们称之为‘N/C’定理,参见文献( [6] 第I章,定理5.7)。
引理2.1:设
,则
同构于
的一个子群。■
下面的引理给出了7度弧传递图的点稳定子群的结构,参考文献( [7] 定理1.1]。
引理2.2:设Г是一个7度
—传递图,其中
且
。设
。则下列之一成立:
a) 如果
可解,则
且
。此外,
为下表之一(表1)。
b) 如果
非可解,则
。此外,
为下表之一(表2)。
3. 定理1.1的证明
定理1.1的证明:设Г是T上的S-弧传递Cayley图,
,
,
,
。设
,则由引理2.1,
。首先我们假设A在顶点集V上非拟本原。设
是A的一个在V上非传递的极小正规子群。则
。因为S同构于
,所以
或者
。若
,则
。这意味着N在V上作用传递,这与N的选取矛盾。若
,则
整除
。注意到
。由引理2.2,得
。因为
,所以
整除
。
假设N非可解。因为
整除
且
和
是仅有的3个
单群,所以N只能同构于下列群之一:
。令
。则
。因为
,所以
,
或者
。然而由引理2.1,不存在7度弧传递图的点稳定子具有这3种情况的阶,矛盾。
假设N可解,则
,
或者
,其中
,
,
。由引理2.1,得
,
或者
。注意到
。如果
,那么
,
或者
。而
,
或者
中不包含同构于A63的子群,其中
,
,
。所以,
,
。进而得,
,即,S中心化N。所以
。因此,
。这意味着
,由引理2.2,
或者
。由Magma的计算,不存在具有这两种点稳定子的F-弧传递的7度Cayley图,矛盾。
因此A在顶点集V上作用是拟本原的。因为
不是一个素数的方幂,所以A不是
型的。设M是A的基柱。则因为A在V上是拟本原的,得M在V上作用传递。又因为
,所以
。因为
,所以必存在一个素数p,使得p恰好整除
。进而得,M不同构于
,其中
,D为一个非交换单群。这可以推出A不是
,
,
,
,
或者型的。因此,A只能是
型,即A是几乎单的。因为
,S是非交换单群,所以
或者S。如果
,则
。这与
矛盾。因此,
,进而
。这意味着
。因为
是几乎单群,所以M是一个非交换单群。由( [8] p.135-136),我们可以推出
。因此,
。如果
,则
。由引理2.2,
。由Mamga的计算,不存在具有点稳定子
的
-弧传递的7度Cayley图,矛盾。所以
证毕。
基金项目
国家自然科学基金项目(11701503);云南省教育厅科学研究基金项目(2017ZZX086)。
参考文献