1. 引言
K-Hession问题源自几何学,流体力学和其他应用学科。例如,当k = N时,k-Hessian问题可以表示Weingarten曲率或者是反射面形状,参见文献 [1] 。近年来,越来越多作者开始研究k-Hessian问题,并取得了很多优秀的成果,详见文献 [2] - [12] 。
k-Hessian方程的一般形式如下:
其中
,
是Hessian矩阵
的特征值。在文献 [13] [14] 中,Wang证明了
表示
中的第k个初等对称多项式。
不难看出,k-Hessian算子是一族算子,包括Laplace算子(当k = 1时)和Monge-Ampère算子(当k = N时),以及其他著名算子。
近几年来,有许多人研究了k-Hessian问题径向解的存在性,包括Clement et al. [15] ,Wang和An [16] ,Wang [17] ,Han,Ma和Dai [18] (当k = N时),Sánchez和Vergara [6] [19] (当
时),Jacobsen [20] (当
时)、Escuder和Torres [21] (当
时)。其中,权函数H和非线性项ƒ都是特殊情形,而没有对它们的一般情形进行讨论。
本文考虑奇异k-Hessian方程
(1.1)
多个非平凡径向解的存在性。其中,
是k-Hessian算子,B表示
中的单位球,f是连续函数。
目前对于问题(1.1)的特殊情况,已有不少结果。例如,Zhang和Zhou在文献 [22] 中证明了当权函数H连续且f是连续的增函数时,问题(1.1)有一个径向解。Wei在文献 [23] 中考虑了权函数H恒为1的情况,通过运用Pohozaev型恒等式和单调分离法证明了问题(1.1)满足如下条件时至多有一个径向解:
1)
;
2)
;
3)
。
基于上述文献的工作,本文主要研究问题(1.1)多个径向解的存在性。我们注意到这可能是第一次讨论k-Hessian方程存在多个径向解的结果,尤其是当权函数H在单位球边界无界时,这方面的结果更少。
2. 几个引理
为了证明我们的主要结论,本节给出几个引理。
首先,考虑k-Hessian算子的径向坐标形式
进而,我们可以把问题(1.1)写成如下形式:
(2.1)
令v=-u,则问题(2.1)可化为定义在[0,1]上的如下问题:
(2.2)
这里
。在本文中,我们假定H和f满足下述条件
(H1)
,其中
;
(H2) 非负函数
,
,且其在[0,1]任意子区间上不恒为0。
由(2.1)和(2.2)式可以得到引理2.1。
引理2.1:假定条件(H1)和(H2)成立,则有
1) 如果v(t)是问题(2.2)的一个解,那么
也是问题(2.1)在J上的一个解;
2) 如果u(t)是问题(2.1)的一个解,那么
也是问题(2.2)在J上的一个解。
接下来将研究问题(2.2)正解的存在性。
本文是基于
空间进行讨论的。显然,E是实的Banach空间,其范数
定义为
。如果
,且满足(2.2)式,那么称v是问题(2.2)的解。
通过直接计算可以得到下述结论。
引理2.2:假定条件(H1)和(H2)成立,则v是问题(2.2)的解当且仅当
是下述方程的解
(2.3)
并且
(2.4)
其中,
,
。
为了估计问题(2.2)的多个正解的存在性,我们构造E上的锥K如下:
对正实数
,我们同样可以定义
下面的结论的证明请参考文献( [24] ,引理2.5,p. 693)。
引理2.3:( [24] 的引理2.5)
有如下性质:
1)
是K中开集;
2)
;
3)
;
4) 如果
,则有
。
定义算子
为:
(2.5)
由文献 [16] 和简单推导可以得到:
引理2.4:假定条件(H1)和(H2)成立,则算子
是全连续的。
引理2.5:( [24] 的引理2.4)设K是实Banach空间X上的锥,D是X的开子集满足
且
。假定算子
是全连续的且
,则下列结论成立:
1) 如果对
,则
;
2) 如果
使得对
,
有
成立,则
;
3) 设U是K中的开集且
。如果
且
,则A在
上有一个不动点。如果条件为
且
,则结论也成立。
3. 主要结论
为了简单起见,定义一些在证明过程中要用到的符号:
定理3.1:假定条件(H1)和(H2),
,并且下列条件之一成立:
(H3)存在
,且
使得
(H4)存在
,且
使得
则下述结论成立:
1) 问题(2.2)至少有两个正解
满足
;
2) 问题(1.1)至少有两个非平凡径向解
满足
。
证明:这里我们只考虑条件(H3)成立的情况。如果条件(H4)成立的情况,那么证明过程和条件(H3)成立时的证明类似。
首先,我们证明
。实际上,由(2.5)中的
知,对
,有
即对
有
。由引理2.5的结论(1)可得
。
其次证明
。
令
,则
。事实上,有
若不然,则存在
及
使得
(3.1)
那么,根据引理2.3和式3.1有
这说明
,显然矛盾。所以由引理2.5的结论(2)可以得出
。
最后,我们类似地可以证明
。由于
,可以推出
。因此,利用引理2.5可以得到问题(2.2)含有至少有2个正解
,且有
。再由
得到问题(1.1)至少存在两个非负径向解,满足
。
若(H4)成立时,我们同样可以证明定理3.1成立。证毕。
注释3.1:从定理3.1的证明中可以看出,问题(2.2)在
上有第三个非负解
,进而得到问题(1.1)存在第三个径向解
。由于
,所以
可能是平凡的径向解。
定理3.1:的可以推广到多解的情况。
定理3.2:假定条件(H1)和(H2)成立,且
,则有如下结论:
1) 如果存在
满足
,使得
则有
i) 问题(2.2)在K中至少有2m0个正解,
ii) 问题(1.1)至少有2m0个非负径向解。
2) 如果存在
满足
且
,使得
则有
i) 问题(2.2)在K中至少有2m0-1个正解,
ii) 问题(1.1)至少有2m0-1个非负径向解。
基金项目
本文由国家自然科学基金(11301178),北京市自然科学基金(1163007)和北京市教育委员会科技面上基金(KM201611232017)资助。