广义三角函数与双曲函数的Wilker-Huygens型不等式

Wilker-Huygens Inequalities Involving Generalized Trigonometric and Hyperbolic Function

摘要: 主要研究了带有一个参数p的广义三角函数及广义双曲函数的Wilker型与Huygens型不等式，给出了广义三角函数与双曲函数的加强不等式。本文用极其简单的方法所获得的一些结果补充推广了已知结果。

Abstract: This paper establishes Wilker-Huygens inequalities for generalized trigonometric and hyperbolic function with a parameter. And some classical inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions are generalized. The obtained results of this paper improve and complement some known results.

1. 引言

近几年，对三角函数与双曲函数的一些不等式性质的研究取得了显著的进展。特别是关于三角函数以及双曲函数的Wilker型不等式 [1] 及Huygens型不等式 [2]

${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2+\frac{\tan x}{x}>2$ (1)

$2\frac{\sin x}{x}+\frac{\tan x}{x}>3$ (2)

吸引了很多学者的广泛研究 [3] [4] [5] 。

同时，也获得了双曲函数的Wilker型不等式 [6] 及Huygens型不等式 [7]

${\left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^2+\frac{\tanh x}{x}>2$ (3)

$2\frac{\sinh x}{x}+\frac{\tanh x}{x}>3$ (4)

1995年，Lindqvist在文献 [8] 给出了带有一个参数p的广义三角函数 ${\sin }_{p}x,{\cos }_{p}x,{\tan }_{p}x$ ，以及广义双曲函数 ${\sinh }_{p}x,{\cosh }_{p}x,{\tanh }_{p}x$ (当 $p=2$ 时，即为初等三角函数)的定义，吸引了很多学者去研究。对于 $1<p<\infty ,x\in \left[0,{\pi }_p/2\right]$ ，广义反正弦函数 ${\arcsin }_p\left(x\right)$ 以及广义反双曲正弦函数 ${\text{arcsinh}}_p\left(x\right)$ 定义为：

${\arcsin }_p\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^x\frac{1}{{\left(1-t^p\right)}^{1/p}}\text{d}t},0\le x\le 1$

${\text{arcsinh}}_p\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^x\frac{1}{{\left(1+t^p\right)}^{1/p}}\text{d}t},x\ge 0$

其中

$\frac{{\pi }_p}{2}={\arcsin }_p\left(1\right)={\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{{\left(1-t^p\right)}^{1/p}}\text{d}t}$

当 $p=2$ 时，广义反正弦函数 ${\arcsin }_p\left(x\right),{\text{arcsinh}}_p\left(x\right)$ 退化为反正弦函数 $\text{arc}\sin x,\text{arc}\sinh x$ 。广义反正弦函数 ${\arcsin }_p\left(x\right),{\text{arcsinh}}_p\left(x\right)$ 的反函数为 $si{n}_p\left(x\right),{\sinh }_p\left(x\right)$ 。

同样的，对于 $1<p<\infty ,x\in \left[0,{\pi }_p/2\right]$ ，广义余弦函数 ${\cos }_p\left(x\right)$ 定义为：

${\cos }_p\left(x\right)={\left(1-{\sin }_p{\left(x\right)}^p\right)}^{1/p}$

自然地，可以推广正切函数以及双曲正切函数

${\tan }_p\left(x\right)=\frac{{\sin }_p\left(x\right)}{{\cos }_p\left(x\right)},{\tanh }_p\left(x\right)=\frac{{\sinh }_p\left(x\right)}{{\cosh }_p(x)}$

本文将不等式(1)-(4)推广到带有一个参数p的广义三角函数及广义双曲函数中去，给出了广义三角函数以及广义双曲函数的Wilker型及Huygens型的加强不等式。

2. 主要结果

引理1. ( [9] ，定理3.6)对于 $p\in \left(1,\infty \right)$ ，函数 $f\left(x\right)\equiv \frac{\log \left({\sin }_p\left(x\right)/x\right)}{\log {\cos }_p\left(x\right)}$ 从 $\left(0,\frac{{\pi }_p}{2}\right)$ 到 $\left(0,\frac{1}{p+1}\right)$ 上严格单调递减。特别地，对于任意的 $p\in \left(1,\infty \right),x\in \left(0,\frac{{\pi }_p}{2}\right)$ ，有

${\cos }_p^{\alpha }x<\frac{{\sin }_{p}x}{x}<1$ (5)

其中 $\alpha =\frac{1}{p+1}$ 为最佳常数。

引理2. ( [9] ，定理3.8)对于 $p\in \left(1,\infty \right)$ ，函数 $f\left(x\right)\equiv \frac{\log \left({\sinh }_p\left(x\right)/x\right)}{\log {\cosh }_p\left(x\right)}$ 从 $\left(0,\infty \right)$ 到 $\left(\frac{1}{p+1},1\right)$ 上是严格单调递增的。特别地，对于任意的 $p\in \left(1,\infty \right),x\in \left(0,\infty \right)$ ，有

${\cosh }_p{\left(x\right)}^{\alpha }<\frac{{\sinh }_{p}x}{x}<{\cosh }_p{\left(x\right)}^{\beta }$ (6)

其中 $\alpha =\frac{1}{p+1},\beta =1$ 为最佳常数。

定理3. 对于 $p>1,n\in N,\left(n-1\right)\alpha -p\beta \ge 0,\beta \le 0$ ，成立不等式

$\left(n-1\right){\left(\frac{x}{{\sin }_{p}x}\right)}^{\alpha }+{\left(\frac{x}{{\tan }_{p}x}\right)}^{\beta }>n\text{,}x\in \left(0,{\pi }_p/2\right)$ (7)

$\left(n-1\right){\left(\frac{x}{{\sinh }_{p}x}\right)}^{\alpha }+{\left(\frac{x}{{\tanh }_{p}x}\right)}^{\beta }>n\text{,}x>0$ (8)

证明：1) 由Jacobsthal不等式，设 $a,b>0$ ，则 $n{a}^{n-1}b\le \left(n-1\right)a^n+b^n$ 仅当 $a=b$ 时等号成立，由引理1中(5)式，因 $\frac{x}{{\sin }_{p}x}>1$ ，当 $\left(n-1\right)\alpha -p\beta \ge 0$ 时，

$\begin{array}{l}\left(n-1\right){\left(\frac{x}{{\sin }_{p}x}\right)}^{\alpha }+{\left(\frac{x}{{\tan }_{p}x}\right)}^{\beta }\\ \ge n{\left(\frac{x}{{\sin }_{p}x}\right)}^{\frac{\left(n-1\right)\alpha }{n}}{\left(\frac{x}{{\tan }_{p}x}\right)}^{\frac{\beta }{n}}=n{\left(\frac{x}{{\sin }_{p}x}\right)}^{\frac{\left(n-1\right)\alpha +\beta }{n}}{\left(\frac{x}{{\sin }_{p}x}\right)}^{-\frac{\beta }{n}}{\left(\frac{x}{{\tan }_{p}x}\right)}^{\frac{\beta }{n}}\\ =n{\left(\frac{x}{{\sin }_{p}x}\right)}^{\frac{\left(n-1\right)\alpha +\beta }{n}}{\left({\cos }_{p}x\right)}^{\frac{\beta }{n}}>n{\left(\frac{x}{{\sin }_{p}x}\right)}^{\frac{\left(n-1\right)\alpha +\beta }{n}}{\left(\frac{{\sin }_{p}x}{x}\right)}^{\frac{\left(p+1\right)\beta }{n}}\\ =n{\left(\frac{x}{{\sin }_{p}x}\right)}^{\frac{\left(n-1\right)\alpha +\beta }{n}}{\left(\frac{x}{{\sin }_{p}x}\right)}^{-\frac{\left(p+1\right)\beta }{n}}=n{\left(\frac{x}{{\sin }_{p}x}\right)}^{\frac{\left(n-1\right)\alpha -p\beta }{n}}\ge n\end{array}$

2) 同理，利用引理2中(6)式以及 $\frac{{\sinh }_{p}x}{x}>1$ 可证得不等式(8)成立。

3. 说明

1) 当 $n=2,\alpha =-2,\beta =-1,p=2$ 时，公式(7)和(8)即退化为Wilker型不等式(1)和(3)；当 $n=3,\alpha =\beta =-1,p=2$ 时，公式(7)和(8)即退化为Huygens型不等式(2)和(4)。

2) 当 $n=3,\alpha =-1,\beta =-1,p\ge 2$ 时， $\left(n-1\right)\alpha -p\beta =-2+p\ge 0$ ，公式(7)可退化为

$2\frac{{\sin }_{p}x}{x}+\frac{{\tan }_{p}x}{x}>3$ (9)

即文献 [10] 中的公式(35)。

3) 当 $n=2,\alpha =-2,\beta =-1,p\ge 2$ 时，显然有 $\left(n-1\right)\alpha -p\beta =-2+p\ge 0$ ，公式(7)分别化为

${\left(\frac{{\sin }_{p}x}{x}\right)}^2+\frac{{\tan }_{p}x}{x}>2$ (10)

即文献 [10] 中(36)式。

4) 当 $n=p+1,\alpha =\beta =-1$ ，有 $\left(n-1\right)\alpha -p\beta =p\left(\alpha -\beta \right)=0$ 。公式(7)、(8)即

$p\frac{{\sin }_{p}x}{x}+\frac{{\tan }_{p}x}{x}>1+p$ (11)

$p\frac{{\sinh }_{p}x}{x}+\frac{{\tan }_{p}x}{x}>1+p$ (12)

即退化为文献 [9] 定理3.16中(3.17)式、(3.18)式。

基金项目

浙江省自然科学基金项目（LQ17A010010），浙江理工大学学生科研项目。

NOTES

^*通讯作者。