1. 引言
谐波齿轮传动 [1] 具有体积小,重量轻,传动比大,精度高,承载能力强等诸多优点,被应用到航空航天、机器人等众多高精尖领域。
谐波齿轮传动中啮合齿形对其性能的影响在众多影响因素中占主导地位 [2] ,目前在谐波传动中应用及研究的齿形主要有直线、渐开线、圆弧、S齿形、β齿形、摆线等,其中直线、渐开线齿形谐波传动 [3] 属于非完全共轭传动,共轭区小且受载变形时存在尖点啮合现象,其传动质量与啮合性能较差;苏联学者伊万诺夫 [4] 最早提出圆弧齿形谐波传动,该齿形显著改善了柔轮的齿根应力状况,提高谐波传动承载能力与扭转刚度,但是其刚轮采用一段凸圆弧与直线齿形,损失了部分啮合区;国内辛洪兵等学者 [5] [6] [7] [8] 提出了双圆弧谐波传动基本齿廓,并引进改进运动学法 [9] 、B矩阵法 [10] 简化了共轭齿廓求解过程,研究了双圆弧谐波传动齿廓参数对共轭齿廓、侧隙等性能影响。
日本学者S. Ishikawa [11] 采用齿条近似的假设,从不需变形而保证连续接触的角度出发,提出的基于曲线映射的S齿形,该齿形相对渐开线齿形啮合特性更好,对谐波传动啮合性能、承载能力等有很大的提高改善,但采用齿条近似的方法在一定程度上限制了其应用;袁安富 [12] 提出β齿形谐波齿轮传动,其仅针对齿形优化设计开展研究,没有开展工程化研制;摆线齿形谐波传动国内外学者研究相对较少,其中Kondo [13] 介绍了一种柔轮为摆线齿廓,刚轮为针轮的类似摆线针轮行星传动的谐波齿轮装置;Jeong KS [14] 介绍了一种柔轮齿廓为摆线,刚轮齿为半圆形的摆线型谐波传动;国内的乐可锡 [15] 论证了柔轮与刚轮均应用摆线齿廓的可行性。
本研究综合考虑谐波传动齿形对其啮合特性的影响,以公切线式新摆线齿形作为研究对象,利用包络理论的精确算法对新摆线齿形谐波传动共轭区域与共轭齿廓开展研究,寻优找出能够兼顾“二次共轭现象”与“二点共轭现象”的双共轭齿廓,其次针对齿形参数对双共轭齿廓的包络区域与啮合弧长的影响,啮合侧隙分布趋势以及重合度情况开展研究,验证双共轭齿廓谐波传动的啮合特性,为谐波传动的设计改进提高一定的参考。
2. 新摆线齿廓方程
如图1,原复合摆线齿廓 [15] 由内、外两段摆线组成,AB段为外摆线、BC段内摆线,该齿廓在B点处存在0˚齿形角,因柔轮运动轨迹线呈一条类似内摆线的曲线 [16] 不存在与纵轴几近平行的区域,以在B点无法实现有效啮合,基于此现象,增大B点啮合角成为改进的必然趋势。
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Figure 1. The original cycloid tooth profile
图1. 原摆线齿形图
如图2,为获得非零齿形角的齿廓,对原摆线起始位置进行调整从而获得不同的齿形角。取外摆线和内摆线切线斜率相等的点E、F,将BE、BF段摆线裁掉,将剩余两段摆线调整位置后,使E、F点切线与分度圆相交于B点处,形成具有非零齿形角的新摆线齿廓。
柔轮新摆线齿廓主要由外摆线AE、内摆线FC及公切线EF相连而成,柔轮局部坐标系O2X2Y2中Y2轴为柔轮轮齿对称轴,X2轴与柔轮的中面曲线相切,表1中给出了柔轮齿廓参数定义。
1) 新摆线齿形AE齿顶段曲线在坐标系O2X2Y2中方程:
2) 新摆线齿形EF切线段曲线在坐标系O2X2Y2中方程:
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Table 1. Definition of the profile parameters of the new cycloid of the soft wheel
表1. 柔轮新摆线齿廓参数定义
3) 新摆线齿形FC齿根段曲线在坐标系O2X2Y2中方程:
由于刚轮齿根曲线由柔轮AB段外摆线包络形成,从增强刚轮齿根强度出发,
越小越好,但是
大小受到柔轮齿顶厚度不小于0.25m (m为模数)限制,故有以下表达式:
式中:
为柔轮齿顶厚对应的圆心角的一半,
,由上式可求出满足确定
值与所需滚过角度
。
3. 新摆线谐波传动共轭特性分析
综合考虑谐波传动轮齿齿廓、弹性变形、共轭理论等因素,采用新型摆线齿廓作为柔轮齿廓,基于包络法精确共轭理论 [17] 求解表2参数的柔轮摆线齿廓的共轭解,获得如图3所示的2条共轭解曲线,如图4所示的共轭齿廓。为更加直观的反映新齿形的啮合状态,图5给出了柔轮齿相对于刚轮齿槽的啮合运动轨迹图。
(a)
(b)
Figure 5. (a) Trajectory of meshing motion and partial enlargement; (b) Trajectory of meshing motion and partial enlargement
图5. (a) 啮合运动轨迹及局部放大图;(b) 啮合运动轨迹及局部放大图
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 2. Calculation parameters of new cycloidal tooth profile of soft wheel
表2. 柔轮新摆线齿廓计算参数
图3中横轴表示为柔轮齿廓对应的极角,纵轴表示为波发生器的转角,由图可见,新摆线齿形谐波传动存在两个共轭区域,一个在长轴0˚附近很窄的区间(实线对应的纵坐标M3M4),共轭区间[−0.343˚,2.331˚],此时轮齿处于完全啮合状态,该区间称为共轭区I;另一个处于波发生器长轴与短轴中间较大区域(虚线对应的纵坐标M1M2),共轭区间[20.26˚,52.42˚],此时柔轮处于啮入状态,称为共轭区Ⅱ;在两共轭区之间的区间(M2M3),称为空白区。
图3中,柔轮齿廓上给定的D点与刚轮齿廓分别在A、C两个波发生器转角位置处于共轭状态,这称为二次共轭现象;在给定的波发生器转角位置E处,柔轮齿廓上存在A、B两点与刚轮齿廓同时处于共轭状态,称为二点共轭现象。二次共轭现象的存在可以显著地提高啮合区域范围,有效地提高谐波传动重合度;二点共轭现象可以有效增加啮合弧长,提高谐波传动承载能力。
图4中,虚线为共轭区Ⅱ对应的共轭齿廓,实线为共轭区Ⅰ对应的共轭齿廓。由图5啮合轨迹线可见,为避免干涉刚轮齿廓只能由1、2、3 (部分)、C1 (该曲线由柔轮齿顶点包络形成,不存在共轭解,属于尖点啮合状态)曲线组成,由于齿廓4、5、6均不能成为刚轮齿廓,所以该齿廓不存在二次共轭现象,啮合区范围很小。若可使得共轭齿廓3与4重合,则对应图3中共轭区域为1、2、3、4,可以显著地提高啮合区域范围,二次共轭与二点共轭同时存在,即保证双共轭现象存在,显著提高谐波传动性能。
3.1. “双共轭现象”分析
为保证双共轭现象存在,必须使共轭齿廓3与4重合,以此为优化设计目标,在保证轮齿不产生啮合干涉的条件下,尽可能增大共轭区域,从而优化柔轮摆线齿廓参数。优化设计后的柔轮齿廓齿形的基本参数如表3所示,对应的共轭齿廓如图6所示,其中共轭齿廓3与4的重合误差不超过0.0005 mm。选取图6中的ABCD段共轭齿廓作为设计刚轮齿廓。
(a)
(b)
Figure 6. (a) Verification of effective conjugate profile and motion trajectory after optimization; (b) verification of effective conjugate profile and motion trajectory after optimization
图6. (a) 优化后有效共轭齿廓及运动轨迹验证图;(b) 优化后有效共轭齿廓及运动轨迹验证图
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Table 3. The basic profile parameters of the soft wheel are optimized
表3. 优化后柔轮基本齿廓参数
3.2. 齿形参数对共轭特性影响分析
由图4可见,柔轮齿廓在整个啮合区上均存在共轭齿廓,但考虑到轮齿啮合要求,柔轮切线共轭齿廓5、与柔轮内摆线共轭齿廓6不可用。共轭齿廓4刚好完全包络共轭齿廓3时,该柔轮齿廓为“二次共轭齿廓”,反之为“二点共轭齿廓”,共轭齿廓4与共轭齿廓3重合时,该柔轮齿廓为“双共轭齿廓”。
由表4可见,“双共轭齿廓”存在两个共轭区,其共轭区大小是“二次共轭齿廓”的1.06倍,是“二点共轭齿廓”的17.33倍;其啮合弧长与“二点共轭齿廓”接近,是二次共轭齿廓的2.65倍,“双共轭齿廓”优势彰显无遗。
3.3. 啮合侧隙与重合度分析
1) 啮合侧隙分析
啮合侧隙是评价谐波传动实际啮合特性和获得可靠啮合力的关键。在谐波传动中,对于柔轮轮齿与刚轮轮齿的每一个啮合位置(波发生器处于某个转角时),以柔轮工作齿廓上取任一点
,以柔轮回转中心为原点,以原点与
的距离
为半径做圆弧,与相邻刚轮工作齿廓交点于
,如图7侧隙计算模型可见,
与
点圆周距离
即为谐波传动在
的啮合侧隙 [2] ,选取柔轮右侧工作齿廓作为计算齿廓,给出了如图8所示新摆线谐波传动柔轮啮合侧隙变化图。
由图8可见,“双共轭齿廓”啮合侧隙呈现先增大后减小趋势,存在两个“零侧隙区域”;由图9可见,“零侧隙区域”分别发生在完全啮合区域与啮入区域;“双共轭齿廓”最大啮合侧隙发生在转角22˚左右,其值为2.5 um,在转角58˚附近脱离啮合。与“二次共轭齿廓”、“二点共轭齿廓”相比,其啮合侧隙分布更均匀,最大啮合侧隙更小,更有力于合理分配齿间载荷,提高谐波传动的承载能力与传动性能。
“二次共轭齿廓”与“双共轭齿廓”的啮合侧隙曲线接近,仅是提前脱离啮合,同时啮合齿对数略小;“二点共轭齿廓”啮合侧隙大,且仅在波发生器长轴附近处,存在“零侧隙区域”,所以从啮合传动角度,优选“双共轭齿廓”与“二次共轭齿廓”。
2) 重合度分析
由于谐波齿轮传动属于弹性共轭运动,所以无法用传统刚性齿轮的重合度计算方法。谐波传动重合度 [18] 实际上是指传动过程中同时参与啮合的齿对数。由表5可见,“双共轭齿廓”理论上同时啮合齿对数为64.898,达到谐波传动轮齿总对数的32.4%,因此与渐开线齿形谐波传动同时啮合齿对数总齿数的3%相比,新摆线齿形谐波传动重合度明显提升,啮合齿对数更多,传动平稳性更高,承载能力更强。
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Figure 8. Comparison of meshing side gap
图8. 啮合侧隙比较图
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Table 4. The influence of the main parameters of the soft wheel on the conjugate interval and the long Angle of the meshing arc
表4. 柔轮主要参数对共轭区间与啮合弧长极角的影响
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Figure 9. Meshing projection of “biconjugate profile”
图9. “双共轭齿廓”啮合投影图
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Table 5. Calculation of recombination
表5. 重合度计算
4. 结论
通过对新摆线齿形谐波传动的设计及啮合特性分析,得出了以下结论:
1) 针对传统内外摆线进行了改良设计,提出了外摆线 + 切线 + 内摆线三段式新齿形方程,满足了谐波传动非零齿形角的齿形设计要求。
2) 针对新摆线齿形谐波传动的共轭特性进行分析,发现存在2个共轭区域,同时还存在“二次共轭现象”与“二点共轭现象”。在此基础上,优化并提出了“双共轭齿廓”,该齿廓可以兼顾存在“二次共轭现象”与“二点共轭现象”优点,显著地提高啮合区域范围。
3) 通过研究柔轮主要参数对共轭现象的影响,发现“双共轭齿廓”存在两个共轭区,“双共轭齿廓”优势彰显无遗。
4) 通过对不同共轭齿廓的啮合侧隙与重合度进行分析,发现“双共轭齿廓”啮合侧隙呈现先增大后减小趋势,存在两个“零侧隙区域”其啮合侧隙分布更均匀,最大啮合侧隙更小。与渐开线齿形相比,“双共轭齿廓”重合度明显提升,传动更加平稳,承载能力更强。