1. 引言
自从诺特在1916年发表的一片文章《Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe》里提出的关于域扩张的有理性问题以来,人们就在这个问题上做了各方面的研究,并取得了很大进步。所谓的有理性问题是说,在给定的群
和有理函数域
的情形下,让群
通过忠实的置换作用在集合
上,得到的不变域
相对于基域k的扩张是不是k-有理的(即纯超越的) [2] 。部分学者考虑了不同的域和不同的群作用下的有理性问题,并且取得了很大的进展。本文主要研究当群
为表1中的群时的有理性问题。
2. 相关定理
本文所研究的
的传递子群及其生成元如表1所示:
生成元为:
下面我们列出一些将要用到的结论。
定理2.1 [3]
当
,设
为
的传递子群,且
不同构于
,则
是k-有理的;若
同构于
,且
,那么
是k-有理的。
定理2.2 [4]
设k是一个域,
,且8不整除n,则
是k-有理的。其中
表示
阶循环群。
定理2.3 [5]
设k是一个域,
,定义
,则
可以看做
的子群。若
和
是k-有理的,则
是k-有理的。
Table 1. Transitive Subgroups of S14
表1. S14的传递子群
注:
表示文献 [1] 中
的第
个传递子群。
3. 主要定理
我们给出本文的主要结果及其证明。
定理:设
为任意域,若
为表1中的任意一个群,则
是k-有理的。
证明:根据表1中生成元的特点,对于
和
,我们有
,
,且由定理2.2知
和
是k-有理的,再由定理2.3知
是k-有理的。至于
,由于
由
生成,从而
是
的传递子群,根据定理2.1知
是k-有理的,且
是k-有理的,最后根据定理2.3知结论成立。