1. 引言
当前的观测数据,如超新星、宇宙微波背景(CMB)、大尺度结构(LSS)等,支持具有负压特征的暗能量的存在 [1] [2] [3] [4] [5] ,并且,伴随着辐射和物质在宇宙膨胀过程中的稀释,暗能量在今天成为了最主要的构成部分并主导了宇宙的演化,标量场是暗能量可能的候选者之一。目前的实验观测数据在某种意义上暗示了暗能量的状态方程参数w越过−1,或者小于−1的可能 [6] [7] [8] [9] [10] ,这是普通的单标量场模型难以实现的。因此,本文讨论了一种scalar-tensor引力下的暗能量模型,此类模型可以实现普通的单标量场暗能量模型不能实现的物理图像。
作为一种动力学场,暗能量可能会与引力产生非最小耦合作用 [11] [12] ,对引力的修改是实现暗能量打破宇宙学常数限制的可能途径之一。在文中,我们主要分析scalar-tensor模型的演化,并讨论它的状态方程参数w越过宇宙学常数限制的可能。
2. Scalar-Tensor暗能量模型的演化推导
当暗能量场
和引力发生非最小耦合时,拉氏量可写作 [13] :
(1)
为了得到标量场
的演化趋势,需要根据拉氏量推导出运动学方程:
(2)
这里的“'”代表对
求导。其中的Ricci标量R将在下文求出。
在一般的scalar-tensor模型中,作用量可写作
(3)
这里的
根据最小作用量原理
(4)
我们可以得到能动量方程
(5)
这里的
为物质和辐射的能动量张量。
根据上面的方程(5),我们可以得到R的表达式:
(6)
在方程(5)中,
表示暗能量的能动量张量:
(7)
为宇宙中所有组分的能动量张量,包括了所有可能的构成成分。
(8)
因此,总的有效能量密度和压强可定义为:
(9)
总的能量密度和压强都是由暗能量、辐射和物质,及它们的耦合项组成。
暗能量本身的能量密度和压强可写作:
(10)
根据能动量密度的公式(10),暗能量的状态方程参数w为:
(11)
3. 具体模型的数值分析
以上的推导是适用于一般的scalar-tensor暗能量模型的。当K = 1,F = 1时,就回到了广义相对论框架下,状态方程的参数w在−1到+1之间。scalar-tensor暗能量模型的形式有许多种,为了便于定量的分析,我们在下面的分析中选取最简单的一种Brans-Dicke模型。
因此,
。
根据方程(2) (6),标量场的演化行为可由以下方程决定:
(12)
在这种情况下,状态方程可简化为
(13)
这里的
。
为了便于分析,定义一个新的函数
。
当g大于0时,暗能量的状态方程参数w大于−1;而g小于0时,暗能量的状态方程参数w降到−1以下(只考虑能量密度大于0的情况)。
从方程(12)可以推出:
选择
,可得,
为了简化问题,首先忽略辐射和物质在今天及将来的作用,只单独考虑暗能量。从上面的推导可以看出,要分析在暗能量的状态方程参数w的演化情况,需要参数的具体数值。当前的观测数据对
做出
了限制 [14] [15] [16] [17] [18] 。并且,由于物质和辐射所占的比例为:
需要使今天的
,
所以选取了
。
然后,我们利用暗能量场的运动方程(12),做数值计算并得到结果如图1~5。辐射和物质所占比例随着宇宙膨胀而变化的情况见图1。
从图2中可以看出,在宇宙的早期,因为辐射和物质先后主导了宇宙的演化,暗能量场ϕ的能量密度占的比例太小,几乎不起作用。随着宇宙的膨胀,辐射和物质被稀释到了一定程度,暗能量场ϕ开始了它的演化,并体现在了总体图像上。
图3表明暗能量场ϕ对lna的导数从零开始,随着宇宙的膨胀开始变成大于零的数,这表示暗能量ϕ在经过了因为能量密度所占比例太小而影响可以忽略的过程后,随着占总体比例越来越大而体现出来动力学场的特征。最后,ϕ对lna的导数又回到了零,这暗示着暗能量在经历了一系列变化后,最终将以常数的形式存在下去。
图4表示的是所有的宇宙构成成分随着宇宙膨胀状态方程的变化。首先,辐射占主导地位,然后是物质,最后辐射和物质在宇宙的膨胀中被稀释,暗能量决定了宇宙的最后的形态。
从图5看出,暗能量的状态方程参数w会有一系列复杂的变化行为,并在这个过程中穿越宇宙学常
![](//html.hanspub.org/file/4-1260262x39_hanspub.png)
Figure 1.
as a function of lna
图1. 物质和辐射所占的比例随着lna的变化
![](//html.hanspub.org/file/4-1260262x44_hanspub.png)
Figure 3.
as a function of lna
图3.
随着lna的变化
![](//html.hanspub.org/file/4-1260262x47_hanspub.png)
Figure 4. wtot as a function of lna
图4. 所有组分的状态方程随着lna的演化
![](//html.hanspub.org/file/4-1260262x48_hanspub.png)
Figure 5. w-(de) as a function of lna
图5. 暗能量的状态方程随lna的演化
数−1的限制。在与之将图4对比后发现,在暗能量有着奇异的变化时,由于辐射和物质占主导地位,暗能量的复杂行为在总体演化中并没有体现出来。而当暗能量成为主要成分时,它已经表现为宇宙学常数。
4. 结论
综上所述,在scalar-tensor模型作为暗能量候选者的时候,以brans-dicke为例,在早期,宇宙的演化先后由辐射和物质决定,这个时候,暗能量场的能量密度可以忽略。随着宇宙的膨胀,辐射和物质先后衰减,暗能量开始了它的演化并成了主要构成部分。在经历了如震荡,状态方程参数w越过−1等一系列复杂的演化过程之后,暗能量以宇宙学常数的形式一直持续下去。
致谢
国家自然科学基金(No. 41401384, No. 41201368)。山东省科技发展基金项目(No. J14LJ02),滨州学院研究基金项目(No. 2013Y09)。