1. 引言
有理整系数上一元多项式环
上的所有素理想是一个很有意思的问题。一个整系数多项式在
上生成的理想是不是
上的素理想有一些判别法则。如标准的Eisenstein判别法
定理1:
是一个整系数多项式。如果满足:
1)
不是
的因子;2)
是
的因子;3)
不是
的因子。
则
是
中的不可约多项式。
再列举其它一些看上去比较简洁的判别准则。
A. Cohn也有一个经典判别准则:
定理2:如果将素数
表示成十进制则
,则
则
在
上不可约。(文献 [1] )
1981年Brillhart, Filaseta, Odlyzko [2] 将此结果推广成任意在
-进制。
定理3:如果将素数
表示成
-进制
,则
则
在
上不可约。
M. R. Murty [3] 还进一步推广至有限域上的多项式。
2000年M. Cavachi [4] 中证明了
定理4:
是
中互素的多项式,且
,则
在
上除了有限个素数
外不可约。
2006年A. I. Bonciocat 与N. C. Bonciocat [5] 给出:
定理5:设
是整系数多项式。
其中
是素数,
。且
,
,
均不是0;而
,
都不是
的倍数。如果
,且
与
的奇偶性不同。则
在
上不可约。
2013年J. Harrington与L. Jones [6] 给出了
定理6:设
是整系数多项式。这里
。则
与
在
上不可约。
由这些判别准则中任何一个,我们都可以造出
中有无穷多个不可约多项式。
如果
是
中的不可约多项式,容易知道由
在
中生成的主理想
是
中的素理想,也就有商环
是整环。但我们知道,整环
不是主理想环,比如容易验证
中由2和一个整系数多项式
生成的理想
就不是由一个整系数多项式生成的主理想。另一个有意思的问题,
中所有的素理想是些什么样子?
2. Z[x]中素理想分类
1)
,
中的素数
是其中的素元,当然是 中不可约的。看成
中的元素时,在
中也是不可约的。所以其生成的理想看成
的理想时也是
中的素理想。所以{(p)│p是素数}是
中的素理想。
另外,由于
是整环,所以零理想是
中的素理想。代数几何中将
中的零理想看成
的广点(generic point)。
2) 如果
是
中的不可约多项式,则由它生成的主理想
是
中的素理想。
再来细究
中的极大理想
,也就是在什么情形下,商环
是一个域。我们先来考虑域F的特征char(F)。熟知一个域的特征是0或者一个素数q。首先我们来说明域
的特征char(F)不可能是0。这是因为
,如果
,则有
,这显然不对,因为分数跑到整数之外了,故域F的特征只能是素数q。
可以做作自然同态映射
到
,实际上就是通常的整系数一元多项式模q映射,其中
是
在
中的系数模q的自然像。显然域
到
的自然同态是满同态。由于
是域,这样理想
是整环
的极大理想,因而是素理想。顺便说一句,因为有限整环是域,所以整环
的素理想与极大理想本质上是一回事。注意到
是有限域
上的一元多项式环,抽象代数里基本结果告诉我们,域上一元多项式环是欧几里得整环,从而是主理想整环,也就是
是整环
中的一个不可约多项式。任取此多项式在自然同态下的一个原像,容易用反证法证明该原像是
中的一个不可约多项式,至此我们已经证明了
中的极大理想
。
3)
中的极大理想形如
,其中了
是素数,
是
中的一个不可多项式,且
模q是
中的不可约多项式。
上面实际就给出D. Munford名著 [7] 中Example H的一个严格初等证明。
3. Z[x]的Krull维数
十九世纪末德国学派将代数集的维数定义为其函数域的超越次数,而上世纪40年代以来至今代数几何里采用的Krull维数:即函数环中素理想列的最大长度。
设P是环R的素理想,则素理想列
的长度上界称为P的高度,记为
。对任一个理想
,称
为理想I的高度 这里的P是R中素理想。R中素理想列的长度的上界称为环R的Krull维数,记为dim(R)。
由上节直接的讨论,我们知道
中的素理想列长度达到上确界2的链为
,这里 是
中的不可约多项式,且多项式
模
后是
中的一个不可约多项式。这样就有
的素理想列长度上确界为2。也就是整环
的Krull维数是2。我们这里给出的是最直接的方法来计算
的Krull维数。交换代数里面有更一般的结果,那涉及很专业的交换代数方法与技巧,有兴趣的可参看 [8] 推论10.12。
致谢
本工作得到江苏高校品牌专业工程资助(No. PPZY2015B109)。并感谢审稿人提出有益的修改意见。