有限维模李超代数W⌒(n,m)的Z-阶化与其极大子代数

The Z-Graded and the Maximum Subalgebra of the Finite-Dimensional Modular Lie Superalgebra W⌒(n,m)

摘要: 本文证明了有限维单模李超代数W ⌒(n,m)是Z-阶化的模李超代数，并确定了它的一个极大子代数W ⌒_[0]。

Abstract: This paper proves that the finite-dimensional modular Lie superalgebra W⌒(n,m) is Z-graded, and obtains a maximum subalgebra W^⌒_[0] of it.

1. 引言

目前单模李超代数的分类问题还尚未解决，因此构作新的单模李超代数和研究已有的单模李超代数的结构就显得非常重要，而研究一个李超代数的单性、确定其导子超代数以及滤过等进而将其与其它的模李超代数进行比较，这些都需要给出该李超代数的Z-阶化 [1] - [8] 。本文将对文献 [2] 给出的有限维单模李超代数 $\stackrel{⌢}{W}\left(n,m\right)$ 的Z-阶化进行证明，并给出 $\stackrel{⌢}{W}\left(n,m\right)$ 的一个极大子代数。

2. 有限维模李超代数 $\stackrel{⌢}{W}\left(n,m\right)$ 的Z-阶化

有限维单模李超代数 $\stackrel{⌢}{W}\left(n,m\right)$ 简记为 $\stackrel{⌢}{W}$ ，其定义见文献 [2] 。在文献 [2] 中给出了 $\stackrel{⌢}{W}$ 的一个Z-阶化，即令：

${\stackrel{⌢}{W}}_i={\text{span}}_F\left\{x^u{y}^{\mu }{D}_j|\left|u\right|+\delta \left(j,I_2\right)=i+1,u\in B\left(n\right),\mu \in H,j\in I\right\}$

其中 $\delta \left(j,I_2\right)=\{\begin{array}{l}1j\in I_2\\ 0j\notin I_2\end{array}$ ， $i=-1,0,1,\cdots ,n$ 。

命题1. $\stackrel{⌢}{W}=\underset{i=-1}{\overset{n}{\oplus }}{\stackrel{⌢}{W}}_i$ 是Z-阶化李超代数。

证明：首先，因为对任意 $u\in B\left(n\right)$ ，有 $0\le \left|u\right|\le n$ ，所以 $-1\le \left|u\right|+\delta \left(j,I_2\right)-1\le n$ ，又 $\left\{x^u{y}^{\mu }{D}_j|u\in B\left(n\right),\mu \in H,j\in I\right\}$ 为 $\stackrel{⌢}{W}\left(n,m\right)$ 一组 $F$ －基底，因此 $\stackrel{⌢}{W}=\underset{i=-1}{\overset{n}{\oplus }}{\stackrel{⌢}{W}}_i$ 。

其次，显然 ${\stackrel{⌢}{W}}_i\left(i=-1,0,1,\cdots ,n\right)$ 是 $\stackrel{⌢}{W}$ 的 $Z_2$ -阶化子空间。

最后，任取 $t,m\in Z$ ，有 $\left[{\stackrel{⌢}{W}}_t,{\stackrel{⌢}{W}}_m\right]\subseteq {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ 。事实上，当 $t$ 或 $m$ 中至少有一个大于 $n$ 或小于 $-1$ 时， $\left[{\stackrel{⌢}{W}}_t,{\stackrel{⌢}{W}}_m\right]=\left\{0\right\}\subseteq {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ ，当 $t,m\in \left\{-1,0,1,\cdots ,n\right\}$ 时，对于任意的 $f=x^u{y}^{\mu }{D}_j\in {\stackrel{⌢}{W}}_t$ ， $g=x^v{y}^{\lambda }{D}_k\in {\stackrel{⌢}{W}}_m$ ，其中 $j,k\in I$ ， $\mu ,\lambda \in H$ ， $u,v\in B\left(n\right)$ ，有：

$\left[x^u{y}^{\mu }{D}_j,x^v{y}^{\lambda }{D}_k\right]=x^u{y}^{\mu }{D}_j\left(x^v{y}^{\lambda }\right)D_k-{\left(-1\right)}^{\left|f\right|\left|g\right|}{x}^v{y}^{\lambda }{D}_k\left(x^u{y}^{\mu }\right)D_j$ (1)

若 $j,k\in I_1$ ，对于 $f=x^u{y}^{\mu }{D}_j\in {\stackrel{⌢}{W}}_t$ ，有：

$\left|u\right|+\delta \left(j,I_2\right)=\left|u\right|=t+1$

对于 $g=x^v{y}^{\lambda }{D}_k\in {\stackrel{⌢}{W}}_m$ ，有：

$\left|v\right|+\delta \left(k,I_2\right)=\left|v\right|=m+1$

此时(1)式等于 ${\left(-1\right)}^{v\left(j\right)}{x}^u{x}^{v-\langle j\rangle }{y}^{\mu }{y}^{\lambda }{D}_k-{\left(-1\right)}^{\left|f\right|\left|g\right|}{\left(-1\right)}^{u\left(k\right)}{x}^v{x}^{u-\langle k\rangle }{y}^{\lambda }{y}^{\mu }{D}_j$ 。

对 $x^u{x}^{v-\langle j\rangle }{y}^{\mu }{y}^{\lambda }{D}_k$ ，如果 $\left\{u\right\}\cap \left\{v-\left\{j\right\}\right\}\ne \varnothing$ ，那么 $x^u{x}^{v-\langle j\rangle }{y}^{\mu }{y}^{\lambda }{D}_k=0$ ，否则，因 $j\in I_1$ ，所以：

$\left|u\right|+\left|v-\langle j\rangle \right|+\delta \left(j,I_2\right)=\left|u\right|+\left|v-\langle j\rangle \right|=t+1+m+1-1=t+m+1$

知 $x^u{y}^{\mu }{x}^{v-\langle j\rangle }{y}^{\lambda }{D}_k\in {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ ，同理知 $x^v{x}^{u-\langle k\rangle }{y}^{\lambda }{y}^{\mu }{D}_j\in {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ ，进而 $\left[x^u{y}^{\mu }{D}_j,x^v{y}^{\lambda }{D}_k\right]\in {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ ，因此，当 $j,k\in I_1$ 时， $\left[{\stackrel{⌢}{W}}_t,{\stackrel{⌢}{W}}_m\right]\subseteq {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ 。

若 $j\in I_2,k\in I_2$ ，对于 $f=x^u{y}^{\mu }{D}_j\in {\stackrel{⌢}{W}}_t$ ，有：

$\left|u\right|+\delta \left(j,I_2\right)=\left|u\right|+1=t+1$

对于 $g=x^v{y}^{\lambda }{D}_k\in {\stackrel{⌢}{W}}_m$ ，有：

$\left|v\right|+\delta \left(k,I_2\right)=\left|v\right|+1=m+1$

此时(1)式等于 ${\lambda }_j{x}^u{x}^v{y}^{\mu }{y}^{\lambda }{D}_k-{\left(-1\right)}^{\left|f\right|\left|g\right|}{\mu }_k{x}^v{x}^u{y}^{\lambda }{y}^{\mu }{D}_j$ 。

对 $x^u{y}^{\mu }{x}^v{y}^{\lambda }{D}_k$ ，如果 $\left\{u\right\}\cap \left\{v\right\}\ne \varnothing$ ，那么 $x^u{y}^{\mu }{x}^v{y}^{\lambda }{D}_k=0$ ，否则，因为 $k\in I_2$ ，所以有：

$\left|u\right|+\left|v\right|+\delta \left(j,I_2\right)=t+m+1$

知 $x^u{y}^{\mu }{x}^v{y}^{\lambda }{D}_k\in {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ ，同理可知 $x^v{x}^u{y}^{\lambda }{y}^{\mu }{D}_j\in {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ ，进而 $\left[x^u{y}^{\mu }{D}_j,x^v{y}^{\lambda }{D}_k\right]\in {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ ，因此当 $j,k\in I_2$ 时， $\left[{\stackrel{⌢}{W}}_t,{\stackrel{⌢}{W}}_m\right]\subseteq {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ 。

对于 $j\in I_2,k\in I_1$ ； $j\in I_1,k\in I_2$ 这两种情况，也可以通过上述方法得知 $\left[{\stackrel{⌢}{W}}_t,{\stackrel{⌢}{W}}_m\right]\subseteq {\stackrel{⌢}{W}}_{t+m}$ 。

综上， $\stackrel{⌢}{W}=\underset{i=-1}{\overset{n}{\oplus }}{\stackrel{⌢}{W}}_i$ 是Z-阶化的模李超代数。

3. 有限维模李超代数 $\stackrel{⌢}{W}\left(n,m\right)$ 的极大子代数

命题2. 设 ${\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]}={\displaystyle \underset{i\ge 0}{\sum }{\stackrel{⌢}{W}}_i}$ ，则 ${\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]}$ 是 $\stackrel{⌢}{W}$ 的极大子代数。

证明：由文献 [2] 知 ${\stackrel{⌢}{W}}_{-1}$ 作为 ${\stackrel{⌢}{W}}_0$ 模是单模。因为 $\left[{\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]},{\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]}\right]\subseteq \left[{\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]}\right]$ ，所以 ${\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]}$ 是 $\stackrel{⌢}{W}$ 的子代数。

设 $M$ 是 $\stackrel{⌢}{W}$ 的子代数，且 ${\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]}$ 真包含于 $M$ ，则存在 $x\in M$ ，使：

$x=x_{-1}+y$

其中 $0\ne x_{-1}\in {\stackrel{⌢}{W}}_{-1},y\in {\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]}$ 。因为 ${\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]}\subset M$ ，所以 $y\in M$ ，又因为 $x\in M$ ，所以 $x_{-1}\in M$ ，于是 $M\cap {\stackrel{⌢}{W}}_{-1}\ne \left\{0\right\}$ 。而 $M\cap {\stackrel{⌢}{W}}_{-1}$ 是 ${\stackrel{⌢}{W}}_{-1}$ 的子模，由 ${\stackrel{⌢}{W}}_{-1}$ 的单性可知 $M\cap {\stackrel{⌢}{W}}_{-1}={\stackrel{⌢}{W}}_{-1}$ ，于是 ${\stackrel{⌢}{W}}_{-1}\subseteq M$ ，因此 $M=\stackrel{⌢}{W}$ ，可知 ${\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]}$ 是 $\stackrel{⌢}{W}$ 的极大子代数。

4. 结论

本文证明了 $\stackrel{⌢}{W}=\underset{i=-1}{\overset{n}{\oplus }}{\stackrel{⌢}{W}}_i$ 是Z-阶化李超代数，并且通过 $\stackrel{⌢}{W}$ 的Z-阶化，证明了 ${\stackrel{⌢}{W}}_{\left[0\right]}$ 是 $\stackrel{⌢}{W}$ 的极大子代数。

基金项目

辽宁省科技厅自然基金项目，项目号：2014020120。