1. 引言
Poincaré-Bendixson环域定理 [1] 说明了,只要能构造出一个有界的环形闭域D,在其上沿有奇点,且在其边界上轨线均进入(或离开)该域,自然,进入(或离开)该域的解均不会再离开(或进入)域D,那么可以肯定在域D内必存在周期解(闭轨线)。如果这周期解(闭轨线)是孤立的,那么它就是极限环,这样,可以通过构造特殊的环域来寻求极限环,并大致确定其位置,如果环域越狭小,则极限环的位置就越准确。
在实际判断时有文献(如 [1] )指出,对于平面驻定系统
(1)
当它是解析向量场,即右端函数X,Y是解析函数时,环域中的闭轨(如果存在的话)都是孤立的,因而它们都是极限环。事实上,这个结论是有问题的。
2. 例子与相关结果
例1. 确定系统
(2)
的周期解、极限环,并讨论极限环的稳定性。
解:易检验
在系统(2)的定义区域内是变号的,于是不能否定系统(2)存在周期解或极限环 [2] 。
取极坐标变换
,
后,(2)化为
(3)
方程组(3)有三个平衡解
,
;
,
;
,
。
当
时
,r单调增加,
,
的最大值为
,
,
单调减少;当
时
,r单调减少,同样,
的最大值为
,此时
,
单调减少;当
时,
,r单调减少,
,
,
变号;当
时
,r单调增加,
变号。
从上面的讨论可知,在圆
的内部,轨线沿顺时针方向盘旋地逐渐增大趋于
;在圆
之外、圆
之内,轨线沿顺时针方向盘旋地逐渐减小趋于
。
是系统的一个周期解(闭轨线)。又,系统(2)的右端函数是解析的,且在圆
的邻域内不含有(2)的奇点,故
是周期为2π的一个孤立的周期解,即它是一个稳定的极限环。在圆
之内、圆
之外,轨线一会儿沿逆时针方向逐渐减小地远离
,一会儿沿顺时针方向逐渐减小地远离
。在圆
外的邻域内,轨线也都是变换方向地逐渐增大远离
。所以
是一个周期解(闭轨线),但是由联立方程组
(4)
解得
,
。
这两个点
,
都是系统的奇点,且它们位于圆
上,所以
不是系统的极限环。
例2. 系统的一般情形
(5)
其中
,
。
同样地,
是系统(5)的一个周期解(闭轨线),但是(5)有两个位于圆
上的奇点
,所以
不是系统(5)的极限环。
例3. 又一种一般的情况
(6)
其中
,
。
类似地,
是系统(6)的一个周期解(闭轨线),但是(6)有两个位于圆
上的奇点
,所以
不是系统(6)的极限环。
3. 结语
作为极限环的定义的“孤立的周期解”中,孤立的含义是,在它(周期解)的邻域内既没有其它的闭轨线,也没有系统的奇点。切不可顾及了一个方面而忽视了另一个方面。