摘要: 本文严格地证明了带扰动的Einstein-Yang/Mills方程在Holder空间中局部解的存在性，这里要求A具有零点。
Abstract:
In this paper, we will give a rigorous proof of existence of local solutions to perturbed Einstein- Yang/Mills equations with gauge group SU(2), here we require the existence of zero point for A, and we consider the area in Holder spaces.
1. 引言
Yang/Mills理论，是现代规范场理论的基础。由杨振宁和米尔斯在1954年首先提出来，通过后来许多学者于1960年到1970年代引入对称性自发破缺与渐进自由的观念，发展成今天的标准模型。杨–米尔斯理论作为克雷数学研究所提出的新前年七大问题之一，在当今物理界和数学界都是热门的问题，本文讨论静态球对称Einstein-Yang/Mills方程在Holder空间中局部解的存在性，这里Einstein度量 [1] ：
(1.1)
SU(2)Yang/Mills曲率-2形式 [2] ：
(1.2)
这里A,C和w都是关于r的函数，由(1.1)和(1.2)，得静态球对称SU(2)EYM方程为 [3] [4] ：
(1.3)
(1.4)
和
(1.5)
由于(1.3)和(1.4)与C无关，所以本文我们主要的工作是耦合方程(1.3)，(1.4)进行分析。
为了使讨论更具有一般性，对原方程加入扰动项，使得(1.4)变为：
(1.6)
这里的
在1附近扰动。
2. 准备知识
为了使我们讨论方便，定义函数
：
(2.1)
这里
。
设
。则由(1.3)，(1.6)得
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
设
，由泰勒展开并引入算子B有
，解得
，得
(2.6)
3. 局部解的存在唯一性
定理：若
，则对于带扰动的静态球对称EYM方程(1.3)和(1.6)，在区域
上，方程解具有存在唯一性。
证明：取
，我们考虑在Holder空间下的范数 [5] ：
并定义集合
：
因为集合
是
上的闭集，易得
是完备的度量空间 [5] ，同理，
和
也是完备的度量空间。定义X为
这里
，定义度量 [5] ：
若
，由于
，则：
同理得
再定义映射
为：
，这里
下面我们证明：对于
，
，s.t
，且T是压缩映射 [5] 。这里
表示半径为
的球。用泰勒展开可得：
易得球上的点可表示为：
由于
，显然当
充分小时，
，即T为自映射得证。
接下来我们证明T是压缩映射：
先考虑
，令
；则
则
为压缩映射得证。接下来证明
也是压缩映射：
其中，对上式用推广的Holder不等式 [6] 可得
又因为当
充分小时，
且
，易得
，即有
，于是
为压缩映射得证 [5] 。
下面证明
也是压缩映射。实际上
再由(2.2)可得：
为了计算方便，我们引入算子
，并定义
，则上式化简为：
则
(3.1)
由(2.6)有
则当
时，有
。对于(3.1)最右边部分，令
(3.2)
其中
则当
时，有
。由于
均与
无关，故
，则对于(3.2)式最后一项，我们有
(3.3)
为了表示方便，令
则
(3.4)
其中
，则由推广的Holder不等式有 [6] ：
则当
时，有
。再考虑(3.4)最右式，为表示方便令
，则
再由推广的Holder不等式 [6] 得
这里，
有界，当
时，有
。又因为
，故
，
，故
，
(当
时) [6] 。于是我们可取
，s.t
。则
这里
，故可得(3.3)左式为：
故有
，于是
为压缩映射得证。
于是，在区域
上，由Banach不动点定理，可得T存在唯一不动点 [5] 
。