1. 引言
Fredholm积分微分方程边值问题广泛地出现在力学、物理学、化学、天文学、生物学、经济学以及静电学 [1] 等科学和工程问题 [2] 之中。这类问题解的存在性与唯一性研究可以参见文献 [3] 。许多学者致力于方程(1)的数值方法研究,这些方法包括Adomian分解法、变分迭代法、同伦分析法、小波法、凸方法、泰勒级数展开法 [4] [5] [6] 等。这些方法各有优缺点,不断地寻找更加有效,简单的数值方法是学者们一直关心的热点问题。
近年来,再生核数值方法广泛地应用于微分方程边值问题的数值求解 [7] [8] [9] [10] [11] ,本文将建立包含边界条件的再生核空间,在空间中讨论如下Fredholm积分微分方程边值问题
(1)
精确解的表达形式,通过截断级数给出方程的近似解,证明了近似解一致收敛于方程精确解。其中是空间上的连续函数,,是一个参数。
2. 再生核空间
定义1是绝对连续实值函数,是整数,。
是再生核空间(证明参见文献 [12] ),对任意的,内积和范数分别为
,.
定义2。
是的闭子空间(证明参见文献 [12] ),是再生核空间。的再生核函数为 (具体表达式的确定参见文献 [12] )。
定义3是绝对连续实值函数,。
是再生核空间,对任意的,内积和范数分别为,。设的再生核函数为(具体表达式的确定参见文献 [12] )。
3. 精确解和近似解的构造
定义线性算子:。对任意,
,
则方程(1)转化成如下形式:
, (2)
其中,,当时,。
引理1:是有界线性算子。
设是上的稠密子集。
令,其中,是的共轭算子。
引理2假设在上稠密,则是上的完全系。
证明 注意到
显然。令
其中,即得
.
由在上稠密,故。由的存在性可知,定理得证。
我们将Gram-Schmidt正交化,得到上的完全正交系,这里,其中,是正交化系数。
定理1假设在上稠密,如果是方程(2)的解,则
, (3)
其中,。
证明,是上的完全正交系,于是
定理1给出了方程(2)精确解的表达式。
通过截断式(3)中给定的级数,得到方程(2)的近似解
, (4)
显然,。
定理 2 假设方程(2)的解存在唯一,是方程(2)的解,是方程的近似解由式(4)给出,则是一致收敛的,其中依次取的所有正整数,即
证明 注意到,于是当时,有
类似的
这里是常数。
4. 误差估计
对于正整数, 在区间上,记,,
,令。
定理 3 设是再生核空间,方程(1)的精确解,是Lipschitz连续的,是方程(1)的近似解,且,则
(5)
其中,是常数。
证明 利用数学归纳法证明。
首先,对采用数学归纳法。
假设结论对于时成立,我们来证明对于成立。
设,有
(6)
由于是Lipschitz连续的,所以存在,使得
(7)
因为,有
因此
(8)
给定,由定理2可知,当充分大时,有
(9)
由(6)~(9),得
(10)
其次,对采用数学归纳法,当时,有(5)和(10)成立。
假设当成立,即
(11)
接下来,我们证明的情况。
因为,所以有
(12)
由(9)~(12),我们有
则有
定理得证。
Table 1. Numerical results of example 1
表1. 算例1的数值结果
5. 数值算例
算例1 求解下列Fredholm积分微分方程边值问题
精确解,取,数值结果见表1。在表1中给出了算例1中方程近似解的计算结果和误差。
6. 结论
文中通过构造包含方程边值条件的再生核空间,获得了一类Fredholm积分微分方程边值问题的精确解和近似解,证明了方程近似解及其导数的一致收敛性,给出了数值方法的误差估计。实验结果表明该方法是有效的。该方法可以进一步推广到其他线性方程边值问题的求解中。
基金项目
河北省自然科学基金(A2015202335),黑龙江省自然科学基金(A201421)。
参考文献