摘要:
本文研究一类三阶中立型半线性时滞微分方程振动性质,利用广义Riccati变换和经典不等式技巧,参考最近论文结果,建立了一个新的振动性准则,并给出证明和例子。
Abstract:
We study the oscillatory of third order semi-linear neutral differential equations with delay argument. Using a generalized Riccati substitution and inequation technique, and consulting some results in recent literature, a new oscillation criterion is established and proved, also a number of examples are given to prove their efficiency..
1. 引言
考虑一类三阶中立型半线性时滞微分方程
,
(E)
其中
,
,
为两个奇数商,
,
任意
,有
,
,
,
,
,
。若(E)有无穷多个零点,则它为振动的;否则称它为非振动的。
最近,二阶、三阶函数微分方程的振动性受到很大关注,许多文献给出一系列振动准则如文 [1] - [11] 。但关于三阶中立函数微分方程的振动性准则较少。我们注意到文 [3] 和文 [4] 对方程(E0)
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x24_hanspub.png)
作了若干个振动性或若振动性准则。本文是研究方程(E)的振动性准则,参考了文 [5] 中二阶微分方程振动准则及文 [1] 和文 [2] 的引理及条件,给出了新的振动准则,并应用新的Riccati变换及经典不等式证明了准则。
为了方便证明引用并保留了以下引理:
引理1 [1] :设
是方程(E)的最终正解,则
只有以下两种可能:
(I)
,
,
;
(II)
,
,
;
引理2 [1] :设存在函数
,
且
,则
。
2. 主要结果
定理2.1:若
,且
,满足
(2.1)
且
(2.2)
其中
, ![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x42_hanspub.png)
则方程(E)是振动的。
证明:设方程有一个非振动解
,且
,
,
,
,
因为
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x48_hanspub.png)
则
是非增函数,且满足引理1 [1] ,故分两种情况讨论:
(I) 假设
,
,
,
,![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x54_hanspub.png)
即有
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x55_hanspub.png)
即
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x56_hanspub.png)
方程(E)去绝对值,则变成
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x57_hanspub.png)
令
,则有
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x59_hanspub.png)
由广义Riccati变换得
,
(2.3)
(2.4)
由于
,且
,即得
(2.5)
对(2.3)两边对
求导,由式(2.4)和式(2.5)得到下式
(2.6)
由经典不等式
,令
,![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x70_hanspub.png)
式(2.6)变为
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x71_hanspub.png)
对上式在
上积分,即有
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x73_hanspub.png)
即
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x74_hanspub.png)
即
(2.7)
显然,式(2.7)与条件(2.1)矛盾
(II) 假设
,
,
;
易知
,
,
,![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x82_hanspub.png)
则有![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x83_hanspub.png)
由广义Riccati变换得
(2.8)
(2.9)
对(2.8)两边对
求导,由式(2.5)和式(2.9)得到下式
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x87_hanspub.png)
由经典不等式
,令
,![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x90_hanspub.png)
(2.10)
对式(2.10)从
上积分有
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x93_hanspub.png)
即
(2.11)
又因为
,则![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x96_hanspub.png)
当
时,有![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x98_hanspub.png)
即
(2.12)
对式(2.12)从
上对
积分有
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x102_hanspub.png)
即
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x103_hanspub.png)
即有
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x104_hanspub.png)
得到![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x105_hanspub.png)
令
,得
![](//html.hanspub.org/file/19-1250550x107_hanspub.png)
那么
(2.13)
因为
,且
,得
(2.14)
由式(2.13)及(2.14)得
(2.15)
则由式(2.15),式(2.11)变成下式
(2.16)
显然,式(2.16)与条件(2.2)相矛盾,因此,我们说满足定理2.1,方程(E)是振动的。
3. 例子
考虑三阶微分方程
,
(3.1)
其中,
,
显然
,
,
,
令
,
,
,
当
时,
,
则
,式(3.1)满足定理2.1,故方程(3.1)是振动。
基金项目
广东省大学生2017年创新创业校级培养项目(No.2017pyA034)。