模解析函数及其性质

Module Analytic Functions and Its Properties

摘要: 若复变函数f(z) 在z₀处满足如下极限存在(有限) 称函数f(z) 于点z₀模可导；若f(z) 在z₀的某个邻域内的任一点模可导，则称f(z) 在z₀模解析。如果函数f(z) 在区域D内任一点模解析，则称(z)为区域D内模解析函数。我们给出了一个复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 模解析的如上定义，并导出了模解析函数的必要条件： 。我们称此为模柯西–黎曼方程(简称模C.-R.方程)。进一步，我们给出了模解析的充分必要条件：(1) u(x,y) ，v(x,y) 在区域D 内满足模C.-R.方程；(2)u(x,y) ，v(x,y) 在区域 D内满足u_xu_y=-v_xv_y 。最后，我们讨论了模解析函数与已有的各类复变函数，如解析函数，半解析函数，共轭解析函数之间的关系。

Abstract: In this paper, the finite number is called the module derivative of complex function f(z) . And if f(z) exists module derivative at any z₀ point of some field D, then f(z) is module analytic function over field D . Let f(z)=u(x,y)+iv(x,y) be a complex function, then we give a necessary condition, such that f(z) is a module analytic function as follows: which can be called module Cauchy-Riemann equation or shortly by M-C.R. equation. Furthermore, for module analytic function f(z)=u(x,y)+iv(x,y) of field D  , we get the necessary and sufficient conditions: (1) u(x,y) ，v(x,y) satisfies the M-C.R. equation within the field D. (2) u(x,y) ，v(x,y) satisfies the equation u_xu_y=-v_xv_y within the field D. Finally, the correlations between module analytic function and several preexisting functions are discussed, including analysis function, semi-analytic function, and conjugate analytic function.

1. 模解析函数

定义1.1：设函数在点的邻域内或包含的区域D内有定义，如果当按任意方式趋于时，即当按任意方式趋于零时，比值

,

的极限都存在(有限)，则称此极限为函数在点的模导数(记为)，此时称函数于点模可导。若在的某个邻域内的任一点模可导，则称在模解析。如果函数在区域D内任一点模解析，则称为区域D内模解析函数。或称在区域D内模解析。

例1.1：试证明函数在平面上不解析，但是在平面上模解析。

证明：由，，得，，，。又，即此函数

不满足C.-R.方程，在平面上不解析。但

即

因此，函数在平面上处处模解析。

例1.2：试证明函数在平面上不解析，但是在平面上模解析。

证明：由，，得，，，。又，即此函数

不适合C.-R.方程，在平面上不解析。但

即

因此，函数在平面上处处模解析。

2. 主要定理及证明

如果函数是模可微的，它的实部与虚部应当不是互相独立的，而必须适合一定的条件，类似于解析函数柯西–黎曼方程，我们也可以探讨这种条件。

若在点模可微，即

(1)

存在，设，，其中：

,

,

代入，则(1)可以改写为

(2)

存在，因为当无论按什么方式趋于零时，(2)总是成立的。不妨设，，即变点沿平行于实轴的方向趋于点 (见图1)，此时有

(3)

成立。同样，不妨设，，即变点沿

平行于虚轴的方向趋于点，此时有

, (4)

成立。综合(3)和(4)得

或者 (5)

Figure 1. z + Δz tend to z)

图1. z + Δz趋于点z

我们称(5)为模柯西–黎曼方程(简记为模C.-R.方程)。

由以上的讨论可以得到如下定理：

定理2.1：(模解析的必要条件)设函数在区域内有定义，且在内模解析，则必有：

(1) 偏导数，，，在区域内存在；

(2)，在区域内满足模C.-R.方程。

例2.1：试证明函数在平面上满足定理2.1中的条件，但在平面上不是模解析函数。

证明：因为，，易知和都是可微函数。易得，，，。可知和的偏导数在区域内存在，满足，所以适合模C.-R.方程。但

在时极限不存在。这只要让沿射线随而趋于零，即知上述比值是一个与有关的值，即。所以函数在平面上不是模解析函数。下面我们给出判定一个复变函数是否模解析的充要条件：

定理2.2：(模解析的充要条件)设函数在区域内有定义，其在区域内模解析的充分必要条件是：

(1)，在区域内满足模方程；

(2) 偏导数，，，在区域内存在且。

证明：设函数，由极坐标变换，，，于是对任意，有，上式表明与的取值无关。

由于此极限与的取值无关，即函数在区域内模解析充要条件为

且.

综上，定理2.2得证。

例2.2：试证明函数在平面上模解析。

证明：令，于是，易得

, , ,.

满足，且，适合模C.-R.方程，由定理2.2知在平面上模解析，并且

.

例2.3：讨论函数的模解析性。

解：因为，，故：

, , , ,

满足，若要，须。故仅在直线上满足模C.-R.方程，从而仅在直线上模可导，但在平面上，却处处不模解析。

3. 模解析函数与其它函数类的关系

定理3.1解析函数一定是模解析函数，模解析函数不一定是解析函数。

证明：设函数是在区域内是解析函数，若任一点，则存在，必有极限存在，于是函数在区域内模解析。所以解析函数一定是模解析函数。反之，模解析函数不一定是解析函数。

例3.1：函数在平面上模解析，但在平面上不是解析函数。

例3.2：函数在平面上是模解析也是解析函数。

证明：因，于是有

, , ,.

适合且，满足定理2.2中的条件，所以在平面上是模解析函数，其在平面上也是解析函数。

文献 [1] 给出了半解析函数的定义如下：假定在区域内连续，若对于每一点，都有，则称在内是第一类半解析函数；若对于每一点，都有，则称在内是第二类半解析函数，第一类半解析函数和第二类半解析函数统称为半解析函数 [1] 。

定理3.2：模解析函数不一定是半解析函数，半解析函数也不一定是模解析函数。

证明：模解析函数的条件且与半解析函数的条件或者进行比较即可的定理结论。

例3.3：函数在平面上是模解析函数，但不是半解析函数。

证明：由例2.2知，函数是模解析函数，令，于是

,

易得

, , ,.

，。根据半解析函数的定义，得不是半解析函数。

例3.4：函数在平面上是半解析函数，但不是模解析函数。

证明：因，则，。易得

, , ,.

于是，根据半解析函数的定义，所以是半解析函数，但，所以根据定理2.2知不是模解析函数。

文献 [2] 给出了共轭解析函数的充要条件如下：

(1) 二元函数，在区域内可微；

(2)，在区域内满足共轭解析条件：，；

则(1)和(2)称为函数在区域内共轭解析的充分必要条件 [2] 。

定理3.3：(共轭解析一定模解析)共轭解析函数一定是模解析函数，但模解析函数不一定是共轭解析函数。

证明：若函数是共轭解析的，在平面上则有存在，所以：

极限存在，则必有存在，易得到也存在，因而函数是模解析函数.所以共轭解析函数一定是模解析函数。反之，模解析函数不一定是共轭解析函数。

例3.5：函数在平面上模解析，同时也是共轭解析函数。

证明：由例2.1知是模解析函数，令，可得，，，，因而满足共轭解析条件，。所以函数在平面上共轭解析。

例3.6：函数在平面上是模解析函数，但不是共轭解析函数。

证明：函数，令，得，于是得

, , ,

满足且，根据定理3.2知是模解析函数，但不满足，，不适合共轭解析条件，所以此函数不是共轭解析函数。

定理3.4：函数既是共轭解析也是半解析函数必须满足下面条件之一：(1)。(2)。

证明：设是共轭解析函数，则且。

若是第一类半解析函数，则，所以有且，于是。

Figure 2. The diagram of inclusion relation

图2. 包含关系图

若是第二类半解析函数，则，所以有且，于是。

推论3.1：模解析函数与解析函数，半解析函数，共轭解析函数的包含关系，如图2所示。

本文所涉及到基本概念和已知结论在参考文献 [2] [3] [4] [5] [6] 里。