1. 引言
熟知,多元函数插值长期以来一直是计算数学研究领域的一个主要研究内容(详见文献 [1] ),有关多元函数插值基本理论和方法研究中一个基本问题是多元插值函数的唯一存在性问题,也就是插值的正则性问题。由文献 [1] 可知,国内外学者对这一问题的研究主要有两个判别,一种是给定插值空间,去构造相应唯一正解结点组(参见文献 [2] - [8] );另一种是给定结点组,去构造相应正则插值空间,而且要求空间的次数尽可能低 [9] [10] [11] 。对于某一类问题,目前,有关在整个空间进行插值以及关于定义于空间中一般代数流形插值的研究结果相对完备,而关于有着重要实用价值的具体流形上的插值结果并不多见。梁学章等人 [12] 讨论了单位球面上的纬线组选取插值唯一正解结点组的方法。Castell等人 [13] 利用球面上偶数条纬线上等距点组构造了球面上的唯一正解结点组。
双叶双曲面是除球面外的另一类主要的二次代数曲面,其在工程设计中有着重要的作用。例如,许多机械零部件和建筑外形采用了双曲面的形式,例如先进的搅拌机叶片的设计就是双叶双曲面结构,其曲面双曲面叶轮体上表面为双曲线母线绕叶轮体轴线旋转形成的双曲面结构,其独特的叶轮结构设计,最大限度地将流体特性与机械运动相结合。因此,对双叶双曲面上的插值问题研究意义重大。
2. 基本定义和基本定理
本文主要研究三维欧式空间中的双叶双曲面上进行多元
Lagrange插值问题。
首先引入若干基本概念
设n为非负整数,令表示所有全次数为n的三元代数多项式构成的集合,即
定义1 (的插值正则结点组)
设,令为中m个互异点构成的点集,如果对于任意给定的数组,恒存在唯一多项式,使之满足:,则称为的一个正则结点组。
定义2 (上的插值唯一正解结点组)
设为如上所定义的椭球面,为在上的限制。,,称为定义于上的一个n次插值正则结点组,如果对于任意给定的数组,恒存在多项式,满足。
定理1 (构造插值正则解结点组的添加双曲面法)
设为如上所定义,,结点组关于的一个正则结点组,而是定义于的一个次正则结点组,则必定构成的正则结点组。
证明:设。因为为定义于上的次正则结点组,由定义2,对任意给定数组恒存在多项式使得。
又因为关于的一个正则结点组,由定义1对任意的数组恒存在多项式使得,
其中为的三维坐标,构造一个多项式
显然有且满足
则由定义1知,为的正则结点组。
定理2 (构造上插值正则结点组添加圆锥曲线法)
设为上的次插值正则结点组,平面与横截相交于圆周曲线,是定义于上的一个次正则结点组,则必定构成定义于上的一个次正则结点组。
定理3 (判定定理)
上的个互异点能够做成定义于上的n次插值正则结点组的充分必要条件是,若存在,满足,蕴含如此的在恒为零。
证明:充分性 设,满足,由条件可知,,。从而,对于定义于的一个n次插值正则结点组,亦有,,即,。又因为为的插值正则结点组,故。
必要性 令,取为关于的正则结点组,可以断言:构成的正则结点组。事实上,对任给,由于为定义上的次正则结点组,故存在多项式满足,
又因为且为关于的的正则结点组,则存在多项式满足
,
则多项式
(*)
满足,由定义知是的正则结点组,同时,在上述过程中取,则(*)式中的,此时
满足定理中的插值条件的多项式,故由空间中满足相同插值条件的多项式的唯一存在性有
即在上恒为零值。
3. 算例
例如:取被插值函数为,双叶双曲面为,在双叶双曲面内取一点,则该点为的一个正则结点组;另在双叶双曲面上取互异的9个点,,,,,,,,,这九个点是定义于双叶双曲面F上的一个次正则结点组(如图1所示),则由定理1知:点组构成适定结点组。设插值多项式为
得到方程组为,其中
Figure 1. Point of the hyperboloid of two sheets
图1. 双叶双曲面取点效果图
,,,解方程组
代入得到
我们取点,,插值结果分别为,,而精确值分别为0.6431,3.6576,误差分别为,。
致谢
首先我要感谢我的论文指导老师也是我硕士研究生导师崔利宏教授,还有我的小伙伴惠婷婷同学。本文是在导师崔利宏教授的悉心指导和严格要求下完成的。感谢老师为我提供了论文材料,耐心为我讲解疑难问题,指明方向。每一个环节导师都倾注了大量的时间和心血。导师和蔼可亲,遇到问题总是耐心讲解,他的严谨求实的治学态度、诲人不倦的精神,对我的影响深远而广泛,使我在做文和做人方面终身受益。在此,我向我的导师致以深深的谢意。最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢!
基金项目
辽宁省大学生实践基地建设项目,辽教[2015] 399号;辽宁省教育厅科研项目,L201683661。
参考文献