1. 引言
设是一个,是的正规子群。在本文中我们用,,和分别表示群的导群,自同构群,中心和商群。用表示群的阶。
假设群是一个有限非循环p-群,并且的阶大于,如果整除,那么我们称这个p-群为LA-群。对LA-群的研究有很久的历史。下面我们列出一些关于LA-群的一些结果:假设是一个阶的有限非循环p-群,并且。如果满足下列条件之一,那么是LA-群。
1)是一个PN-群和一个交换群的直积,并且整除(见 [1] );
2)是p-交换p-群(见 [2] );
3),并且是亚循环的(见 [3] );
4) (见 [4] [5] );
5) (见 [6] );
6),并且是有限的模p-群(见 [7] );
7) Frattini子群循环(见 [8] );
8)是一个指数为的循环子群(见 [9] );
9)是一个极大类p-群(见 [1] );
10) 对任意的, (见 [10] );
11) (见 [11] );
12)是余类为2的p-群(见 [12] )。
此外,在文献 [13] 中,作者刻画了满足的极大类p-群,其中表示的Sylow-p子群的阶。再者满足的p-群在文献 [14] 中被分类。
本文我们将LA-群推广到一类p-群上:满足,,其中为素数。现在我们陈述本文的主要结果。
定理1.1. 假设是一个阶大于等于的有限非循环p-群,为素数,并且满足,则整除,即为LA-群。
注1.1. 由引理2.1,我们可以假设群的幂零类大于2。进一步,由文献 和 ,我们可以假设不是p-交换的,并且。
2. 预备引理
在本小节,我们将给出一些必要的预备结果。
首先,我们给出两个关于LA-群的结果,见文献 [15] [16] 。
引理2.1. ( [16] , THEOREM])假设是一个有限非交换p-群,幂零类,则的阶整除于的阶。
引理2.2. ( [15] , THEOREM])假设是一个有限p-群,并且满足是一个非平凡的亚循环,则整除。
接下来的引理给出了有限亚循环p-群的判别准则。
引理2.3. ( [17] , K.III, S.11.4])假设是一个有限p-群,则是亚循环的当且仅当,其中。
最后我们给出有限p-群正则的判别准则。
引理2.4. 假设是一个有限p-群,
1) 如果,那么正则;
2) 如果,那么正则;
3) 如果,并且循环,那么正则;
4) 如果,那么正则。
3. 定理证明
首先,我们考虑正则的情形:是一个正则p-群,其中素数p没有限制。
引理3.1. 假设是一有限非循环p-群,满足,则整除。
证明:假设是一个正则p-群。注意到正则2-群是交换的,因此。因为不是p-交换的,所以我们有。又因为正则,所以,。因此并且。接下来我们有:和的交非平凡。事实,如果假设,那么存在满足,因此,与前面的事实矛盾。若假设,则很容易可得并且。进一步,由前面的事实可得,所以。从而由引理2.3,我们可得是亚循环的。因此由引理2.2,定理得证。
即使是一个非正则p-群,也是亚循环的。
命题3.2. 假设是一个阶大于等于的有限非循环p-群,并且满足
,,则是亚交换的。
证明:由前面的讨论我们可知具有下面的子群链:。因此我们有或者。如果是p阶的循环群,那么交换,所以是亚交换的;接下来,假设其中。如果,由文献( [17] , K.III, H.2.11, b]),那么我们可以在中选择和满足在中,如果,那么可以在中选择,在中选择满足属于;最后,如果,你们可以在中选择,在中选择满足属于。因为,所以是交换的,因此是亚交换的。
定理1.1的证明。注意到的幂零类或者5。由于,所以是正则的。因此由引理3.1可得定理1.1对所以的素数均成立。
定理1. 的证明已完成,接下来我们给出一个推论。
推论3.3. 假设是一个有限非循环p-群,满足并且,则整除。
证明:注意到,所以。由定理1.1和文献 ,推论得证。
本文中,我们仅仅只考虑了这种情形:,其中。但是由引理3.1,我们可知定理1.1对这种情况也是成立的:是正则的p-群,其中对素数p没有限制。因此,自然地我们有下面可以考虑的问题。
问题:定理1.1对这种情形是否成立:是一个非正则的2-群,非正则3-群或者非正则5-群。对于这个问题我们也在进一步研究。我们可以预见到这种情形的复杂性。这将是一个巨大的工作。
基金项目
国家自然科学基金(11301468)、云南省自然科学基金(2013FB001)和云南大学第八届研究生科研创新项目资助(ynuy201688)。
NOTES
*通讯作者。
参考文献