1. 引言
在物理学、光学、力学、工程技术等领域,非线性系统被广泛用于描述各种自然现象和动力学规律,对非线性系统解析解的研究成为人们研究非线性系统动力学行为的一种重要手段和方法。许多求解非线性偏微分方程解析解的方法被不断地提出和发展,如形变映射法 [1] 、Cole-Hopf变换法 [2] 、拓展tanh函数法 [3] 、进一步拓展tanh函数法 [4] 、Riccati方程映射法 [5] 、有理函数方法 [6] 、Riccati方程展开法 [7] 、多 Riccati方程有理数展开法 [8] 、多Riccati方程有理函数指数法 [9] ,等等。
(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli (BLP)非线性系统
(1)
被广泛地用于研究原子物理、分子物理、粒子物理领域的一些实际问题。许多研究者用多种方法获得了BLP非线性系统不同类型丰富的解析解 [10] [11] [12] [13] [14] ,这些形式完全不相同的解析解之间是否存在相互联系?目前还没有这方面相关的进展。
这篇论文研究了在Riccati方程约束条件下,BLP非线性系统的一些形变双曲函数、形变三角函数、双曲函数或三角函数形式的行波解。结果发现这些不同形式的行波解之间存在着相互联系,并非是独立的。通过改变Riccati方程的参量,能使这些形变双曲函数、形变三角函数、双曲函数或三角函数形式行波解之间相互转化。基于这些结果,本论文提出利用参量的变化规律来预测BLP非线性系统的动力学行为的变化规律,借助改变参量实现对非线性系统动力学行为控制的思想。
2. 带多个任意参量的BLP非线性系统的有理指数解
为了揭示出对受Riccati方程约束的BLP非线性系统的形变双曲函数、形变三角函数、双曲函数或三角函数形式行波解之间内在的联系。首先必须设法能将这些不同形式的行波解统一起来。其解决方案是寻找(2 + 1)维BLP系统带多个任意参量统一的有理指数解。其方法如下:
对BLP系统作以下变换
(2)
即把方程(2)代入方程(1)中,简化后可得到:
(3)
设方程(3)有下列拟解:
(4)
其中是待定常数,函数满足Riccati方程:
(5)
其中都是常数。方程(5)有下列带多任意参量的有理指数解 [6] :
(6)
其中为任意常量,。
把方程(4)~(5)代入方程(3),然后令结果方程中的所有系数为零,得到一组的关于的代数方程组。求解这组代数方程,可得:
(7)
其中是任意常量。
把方程(7)连同方程(6)代入方程(4),化简得到方程(1)有下列有理指数函数解:
(8)
其中,而是任意常量,。需要指出的是,若,方程(8)是方程(1)的解;若时,需要对方程(8)等式右边所有的,作变换后才是方程(1)的解。
3. BLP非线性系统不同的动力学行为及控制方法
方程(8)是BLP非线性系统带多个任意参量的有理指数函数解,对这些任意参量赋予某些确定的值和对方程(8)中的作变换后,能够写出BLP系统已知的形变双曲函数、形变三角函数、双曲函数、三角函数形式的行波解,获得BLP系统丰富的动力学行为。
(1) 设,那么。取,方程(8)变成
(9)
(2) 设,那么。取,方程(8)变成
(10)
(3) 设,那么。取,做变换,方程(8)变成
(11)
(4) 设,那么。取,做变换,方程(8)变成
(12)
(5) 设,那么。取,做变换,方程(8)变成
(13)
(6) 设,那么。取,做变换,方程(8)变成
(14)
(7) 设,那么。取,做变换,方程(8)变成
(15)
(8) 设,那么。取,做变换,方程(8)变成
(16)
(9) 设,那么,取,做变换方程(8)变成
(17)
(10) 设,那么,取,做变换方程(8)变成
(18)
(11) 设,那么,取,做变换方程(8)变成
(19)
(12) 设,那么,取,做变换方程(8)变成
(20)
(13) 设,那么,取,做变换方程(8)变成
(21)
(14) 设,那么,取,做变换方程(8)变成
(22)
(15) 设,那么,取,做变换方程(8)变成
(23)
(16) 设,那么,取,做变换方程(8)变成
(24)
其中,而是任意常量。
方程(9)~(24)仅是参量取某些特定值,从方程(8)获得具有形变双曲函数、形变三角函数、双曲函数或三角函数形式的BLP非线性系统的行波解。显然它们都是方程(8)的特解,这些解尽管形式不相同,好像彼此不相干,实际上它们是通过方程(8)中的参量联系在一起。由于参量是任意常量,从理论上来说方程(8)能得到无限多的BLP非线性系统的行波解,表示BLP非线性系统具有无限多不相同的动力行为。这些行为中绝大部分是无法用形变双曲函数、形变三角函数、双曲函数或三角函数形式表示的行波解,只能写成有理指数函数形式的行波解。由于这些BLP非线性系统的行波解,都是被参量联系在一起,因此,掌握了这些参量的变化规律,我们就能预测BLP非线性系统行为的变化规律。例如:当约束方程参量满足,内部参量时,我们能预测BLP非线性能产生冲击波。
另一方面,如果想要控制BLP非线性系统动力学行为,只要控制好与之相对应的参量值就可实现。并可通过参量数值的变化,实现BLP非线性系统在不同行为之间的转化。例如:需要减弱或削除冲击波对BLP非线性产生的影响,可以借助方程(8),通过改变约束参量和内部参量的方法,削弱冲击波的幅度,或将其转化为其它种类的行波。
4. 结论
本论文构造了一个广义的Riccati方程,并获得该方程归一化的带多参量的有理解数函数解,利用这个广义的Riccati方程和这个归一化的有理解数函数解,求得了(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli非线性系统广义的有理指数函数解。借助这个解中包含的多个参量和一个简单的自变量变换方法,就能获得BLP非线性系统丰富的行波解,包括形变双曲函数、形变三角函数、双曲函数、三角函数和有理指数函数形式的行波解。一个重要的应用是,可借助BLP非线性系统解析解中包含的多个参量,来预测BLP非线性系统动力行为变化规律,以及通过控制参量变化的方法,实现对BLP非线性系统动力行为的控制。
本论文给出了在广义的Riccati方程约束条件下BLP非线性系统带有多参量的有理解数函数解,揭示出这个解包含丰富的动力行为。但对于BLP非线性系统某个具体的动力行为,哪些参量是影响其行为的主要因素?对于BLP非线性系统不同的动力行为,这些参量对其行为影响的地位是否会发生变化?存在着什么的规律?这些问题有待于进一步研究。
致谢
本项目获得浙江省自然科学基金资助,项目号:LY13A050001。
基金项目
浙江省自然科学基金资助,项目号:LY13A050001。
参考文献