1. 引言
考虑二阶半线性中立型微分方程
(E)
其中
,
,对每一
,都有
,
,按照习惯,(E)的解称为振动的,如果它有任意大的零点;否则称它为非振动的。
[1] - [8] 对二阶半线性时滞性微分方程
(E0)
建立了一系列的振动法则,但是,所得结果不够完善, [9] 利用Riccati变换经典不等式
,对方程(E0)建立了新的振动准则,它改进了 [2] 和 [7] 中的结果。
定理A [9] 设
是两个奇数的商,
,存在函数
满足
(1.1)
和
(1.2)
其中
,
,
;
,
.
则方程(E0)振动。
我们注意到 [9] 中限制
是两个奇数的商,在 [9] 工作的启发下,我们在本文中利用Riccati变换技巧,建立了方程(E)的振动准则,它改进了文献中的结果,为说明主要结果的应用给出了例子。
2. 主要结果
使用记号:对
,令
,
,
,
,
, ![](//html.hanspub.org/file/23-2620406x37_hanspub.png)
下面我们来建立(E)当
时的振动准则
定理2.1设
,若存在函数
满足
(2.1)
且
(2.2)
则方程(E)振动。
证:设方程有一个非振动解
,不失一般性,设存在
,使
,对所有
都成立,此时
,由方程(E)可得
(2.3)
即
在
上是减函数,因此
是不变号的,设存在
,分两种情况来展开讨论:
(i) 假设
,
。
证明过程与文 [7] 的定理2.1证明类似,得到条件(2.1),在此就不多做讨论了。
(ii) 假设
,
。此时,(2.3)式变成
![](//html.hanspub.org/file/23-2620406x57_hanspub.png)
于是对于
有
,即
(2.4)
在
上对(2.4)式中的s进行积分,得
![](//html.hanspub.org/file/23-2620406x62_hanspub.png)
令
,得
(2.5)
于是得到
,则
,即有
![](//html.hanspub.org/file/23-2620406x67_hanspub.png)
即
(2.6)
由方程(E)和(2.6)式得
![](//html.hanspub.org/file/23-2620406x69_hanspub.png)
即
(2.7)
考虑广义Riccati变换
(2.8)
(2.8)式对t进行求导,并由(2.7)知
(2.9)
又由(2.5)得:
,所以
![](//html.hanspub.org/file/23-2620406x74_hanspub.png)
以
乘(2.9)式两边,从
到
关于
积分,有
![](//html.hanspub.org/file/23-2620406x79_hanspub.png)
利用
,上不等式变为
![](//html.hanspub.org/file/23-2620406x81_hanspub.png)
即
(2.10)
显然(2.10)式与条件(2.2)矛盾,因此,方程(E)振动。
3. 应用
例:考虑二阶微分方程
(3.1)
其中,我们取
,
显然,
,
,
,
于是,
, ![](//html.hanspub.org/file/23-2620406x89_hanspub.png)
显然当
时,方程满足条件(2.1)和(2.2),故由定理2.1知方程(3.1)振动。
基金项目
国家自然科学基金(11271380)、茂名市科技局软科学项目(20140340;2015038)。