一类具阻尼的二阶奇异微分方程周期解的存在性

Existence of Periodic Solutions of a Second-Order Singular Damped Differential Equation

摘要: 奇异微分方程在天文学、物理学、生物学等学科中有着广泛的应用，本文应用变分方法，证明了二阶阻尼奇异微分方程至少有一个非平凡周期解的存在性结果。

Abstract: Singular differential equations have important applications in astronomy, physics, biology and many other applied sciences. In this paper, by using variational methods, we prove the existence of at least a non-trivial periodic solution for the second-order singular damped differential equation .

1. 引言及主要结果

变分学是研究泛函极值(以及更一般的临界值)的一个数学分支；变分问题内容非常丰富，从经典力学到规范场论，物质运动的规律都遵从变分原理。临界点理论是近几十年来变分学发展最快的分支，同时也有许多应用，特别是在微分方程解的存在性的证明中它是直接方法的一个重要补充 [1] - [6] 。

本文应用“山路引理”研究奇异阻尼微分方程

(1)

T-周期解的存在性，其中，，显然非线性项在原点具有排斥奇异性，即。最近，方程(1)周期解的存在性也受到少数几个专家学者的关注。

在文献 [7] 中，应用度的同伦不变性，对同伦方程的解进行先验估计，然后利用经典的重合度理论，得到方程至少有一个正周期解；在文献 [8] 和 [9] 中，通过考虑其Green函数的正性，分别应用Leray-Schauder

二择一原理和Schauder不动点定理，研究了其周期解的存在性。一般情况下，当，对于方程(1)很难应用变分法。本文，我们考虑的情形，通过合理的假设，在适当的Sobolev空间

上建立方程(1)的相应的变分结构，利用“山路引理”，证明方程(1)至少有一个非平凡的T-周期解。

定理1. 假定条件

(H₁)，且；

(H₂)，其中；

(H₃)是有界的；

(H₄)，其中定义为。

成立，则方程(1)至少有一个非平凡T-周期解。

2. 引理

首先，定义截断函数如下：

我们知道关于是连续的。

下面，对，我们考虑方程

. (2)

设

,

同时定义如下Hilbert空间

,

其范数为

方程(2)在空间上对应的泛函为

(3)

在定理1的假设条件下，类似于文献 [10] 定理2.1的证明，令，其中，，则满足 [3] 中定理1.4的所有条件。我们知道函数连续可微，且在上弱下半连续。同时对所有的有

. (4)

引理1 如果是欧拉方程的解，则是方程(2)的T-周期解。

证明：由，则对所有的，

.

即

.

容易知道有弱导数，且

, (5)

, (6)

, (7)

其中为常数。由(6)，(7)，存在，满足

.

进一步，由(5)，有

.

故泛函的临界点就是方程(2)的T-周期。

引理2 [3] (Wirtinger不等式) 设，且，则

.

为了证明我们的主要结果，将应用下面的山路引理。

引理3 [3] 设是Banach空间，，满足P.S.条件，，是的开邻域，，假定

.

令

,

其中，

,

那么必是的临界点，且。

3. 定理的证明

下面，我们给出定理1的证明。

证明：对该定理的证明我们总共分为四步。

首先，我们验证满足P.S.条件。

设序列，使得是有界的且当时，。即对所有的，存在常数以及序列(当时，)使得

, (8)

和

, (9)

其中。

我们只须证在中有界。

事实上，在(9)中，取，我们得到

.

于是，

. (10)

设

,

以及

.

由(10)式，得到

,

其中如(H₃)中定义。因此，对所有的，存在常数使得

. (11)

另一方面，如果在(9)中取(其中)，同时注意(11)式，我们得到

.

由于在Sobolev空间中，，由Poincaré-Wirtinger不等式，存在常数，使得

. (12)

下面，用反证法证明的有界性。假设无界，即

，当，

由(12)式，则或者

，当， (13)

或者

，当， (14)

(i) 我们假设(13)成立，则有

,

因此，由Sobolev不等式和Ponicaré不等式，以及(12)式，得到

.

考虑到(8)式，我们知道

有界，与条件(H₄)矛盾。

(ii) 我们假设(14)成立，即当时，。我们用代替，类似(i)的证明过程，得出矛盾。

因此，满足P.S.条件。

其次，对任意的，证明存在使得

.

这里

,

以及

.

对任意的，存在某个满足，由(3)，我们得到

.

由Hölder不等式，同时注意到，有

.

另一方面，应用Ponicaré不等式，得

.

由以上两个不等式得出

，当.

由于，于是等价于。因此

，当，.

即是强制的，存在最小序列。由的弱下半连续性，我们知道

.

所以，对任意的，证明存在使得。

再次，我们证明存在常数，对任意的，方程(2)的解满足，且。

用反证法，假设存在序列和使得

(i)；

(ii)是方程(1.7)当时的解；

(iii)；

(iv)。

由于

, (15)

于是存在常数，使得

.

另一方面，据边值条件，存在满足。因此，得到

,

同时据(15)，存在常数，使得

. (16)

由条件知，存在正常数和(不防设)使得

.

否则，假设一致趋于0或。据(H₂)，(H₄)以及(16)式，当时，

,

与的事实相矛盾。

当充分大时，设，满足

.

方程(2)两边乘以，并对其在(或)上积分，得到

.

显然，

,

其中

.

由于有界，可积，且，从而有界，也有界。另一方面，我们有

,

两边在上积分，得

.

与(H₂)得出的无界矛盾。即方程(2)的解满足，且。因此是方程(1.1)的解。

最后，我们证明当，满足山路几何条件。

由排斥奇异性，可以固定使得。从而，有

.

因此，

.

所以

. (17)

据排斥奇异性，选择，使得对任意的，

.

由(17)，知。

又据条件(H₄)，选择足够大的使得，且

,

于是，

.

因为是的邻域，，且

.

由第一步和第二步的证明，我们知道有临界点使得

,

其中.

又由，以及第三步的证明，是方程(1)的解。

基金项目

海南省自然科学基金(117005)，国家自然科学基金(11461016)，海南省高等学校教育教学改革研究项目(Hnjg2017-6)，海南大学教育教学研究项目(hdjy1715)。