1. 引言
众所周知,具收获项的捕食-被捕食系统可以被描述为 [1] [2] [3] [4]
这里分别表示捕食-被捕食猎物的密度,h和k是收获项 [5] 。特别地,一个具收获项的捕食-被捕食非自治模型可以被描述为
(1)
这里分别表示猎物的内在增长率,捕获率,捕食者的死亡率,转换率和半饱和参数。设(1)的所有参数均正,详细的生态意义可参考 [6] - [11] 及其相应的参考文献。
由于实际的模型常受到环境变化的影响,因此文 [9] 研究了模型
(2)
这里均是连续的正周期函数。
本文研究
(3)
这里是连续的正周期函数,n是正整数。显然文 [9] 是本文的特殊情况。
本文用重合度理论研究系统(3)正周期解的存在性。为方便,我们列举(详细请参考 [10] )
引理1 (连续定理)。假设L是指标为零的Fredholm映射,N在上是L-紧的,若
(1)对任意,对算子方程的任一解满足。
(2)当时,,。
则在上至少有一个解。
2. 主要结果
令,则系统(3)成为
(4)
如果是(4)的周期解,则是(3)的周期解。令
在此范数下,是Banach空间。定义和分别为
定义投影和为
易知,是的闭集,这里
。于是是指标为零的Fredholm算子。
为了叙述方便,我们引进下述记号
考虑算子方程,这里,即考虑
(5)
若对于任意的,是(5)的周期解,令
则
(6)
由(5)和(6)得
(7)
(8)
为了叙述方便,记
对于函数,易证下面的引理(证明略)
引理2. 若是连续的正周期函数,则对于函数和,我们有
(i)对于固定的,关于单调减少。
(ii)对任意的,当时,。对于固定的,当时,关于上升,而且当时,关于上升。
(iii)对,当时,。
(iv)对,当时,。
(v)对,当时,。
定理1. 若是连续的正周期函数,则系统(4)至少有一个周期解。
证明. 由(7)的第一个方程易知,由引理2的(iii)知。由(8)的第一个方程和引理2的(i)知,于是对,。由(7)的第二个方程和引理2(ii)得,于是由引理2(iv)得。由(8)的第二个方程和引理2(ii)得。于是对,由引理2(v)得。故。
记。
是U的有界开集,我们将证明N在是L-紧的。事实上,满足
易知和都在连续,在上有界且是紧的,于是是L-紧的。注意到,所以是同构恒等映射。于是引理1的条件(1)成立。
往下我们证明:对于任意的,。事实上,若不然,则存在使得
(9)
由积分中值定理,存在使
用上面同样的证明方法得。这与矛盾。
为证明,我们预先建立下面的引理。
引理3.若,
则是同伦映射。
证明对于,易知,因此只要证明当或且对于,或时,。因,所以当时,。当,,且当,,于是只要证明对,。
若满足
同样用积分中值定理,存在使
(10)
若,由引理2(iii),当时,。于是
这与(10)的第一个方程矛盾。
若,由(10)的第一个方程得
上式不可能成立。
若(10)成立,由(10)的第二个方程及得。
若,这与引理2(iv)矛盾;同样当时候,,(10)的第二个方程不成立。故当时,,故在上是同伦映射,因此
引理4.考虑代数方程组
(11)
这里都是正常数。如果且,则易证(这里从略)
由引理4易得(1)当时,;(2)当时,;
(3)当时,;
(4)当时,。
若,则。
引理5.若定义为
则在上是同伦映射。
证明我们只需证明下面两个情况
情况1取,使满足
(12)
则。事实上,若,由引理2(iii)和引理4得
(13)
若,由引理4得
(14)
(13)和(14)与(12)矛盾。
情况2取,使对
(15)
则。事实上,若,由引理2(iv)和引理4得
(16)
若,由引理2(v)和引理4得
(17)
(16)和(17)与(15)矛盾。于是当时,。引理5证毕。于是
引理6.如果,则
(18)
证明记。注意到
所以。由(11)的第一个方程,得
. (19)
若,由(18),(19)得。于是由得。这里,所以(18)成立,引理6证毕。
注意1.考虑到引理4的代数方程,假设且,定理1不再需要其他条件。
基金项目
国家自然科学基金资助项目,项目批准号:60672085;山东省本科高校教学改革研究项目,项目批准号:2015M139。
参考文献