1. 引言
一个t-(v, k, λ)设计D = (X, B, I)是由v个点的集合X和它的一些k元子集(称为区)组成的集合B,且满足对于X的任意t子集,恰好有λ个区包含它。D的自同构群G是Sym(X)的子群,满足对任意
,有
。设计D = (X, B, I)的一个旗是指一个点区对(x, B),这里
且
。如果G作用在D的区集合(点集合,旗集合)上是传递的,则称G是区–传递(点–传递,旗–传递)的 [1] 。对具有特殊传递性的区组设计的自同构群进行分类是组合数学的一个重要课题,目前,对参数较小的旗传递设计的自同构群的分类工作取得了较完善的成果,但当参数比较大时,研究进展明显要慢得多。我们知道,如果一个非平凡
设计是旗–传递的,那么参数t ≤ 6 [2] 。因此,我们可以考虑旗传递6-(v, k, 3)设计的自同构群的分类问题。
主要定理: 设
是一个非平凡旗–传递
设计,G是D的自同构群,则G的基柱不同构于仿射型群。
2. 预备知识
引理2.1 ( [2] )设
是一个
设计且
,则下面之一成立:
(1) 如果D的自同构群G区–传递地作用于
上,则
必点
-齐次地作用于
上;
(2) 如果D的自同构群G旗–传递地作用于
上,则
必点
-齐次地作用于
上。
引理2.2 设
为一个
设计,则:
(1)
;
(2)
;
(3) 如果t = 6,那么
.
引理2.3 ( [2] )在有限3-齐次置换群中,仿射型群分为如下三类:
(1)
或![](//html.hanspub.org/file/5-1250520x32_hanspub.png)
(2)
;
(3)
。
引理2.4 ( [2] )设
是一个
设计,这里
,如果
在D上旗传递,那么G在D上是2-传递的
引理2.5 ( [3] )设
是一个
设计,则
![](//html.hanspub.org/file/5-1250520x41_hanspub.png)
我们将
代入引理2.5的不等式中,化简可得:
推论2.6 设
是一个非平凡的
设计,则参数k满足下面的不等式
![](//html.hanspub.org/file/5-1250520x45_hanspub.png)
引理2.7 ( [4] )如果
是一个非平凡的
设计,那么不等式
成立。
引理2.8 ( [3] )设
一个
设计。如果
旗-传递地作用于
上,则对任意的
,都有
成立。
引理2.9 ( [5] )若
表示向量空间
的标准基的第
个向量,且
,则
点-传递地作用于
上。
引理2.10 ( [2] )设
是一个
设计,则对于每一个正整数
,都有
![](//html.hanspub.org/file/5-1250520x64_hanspub.png)
成立。
3. 主要定理的证明
设
是一个非平凡的旗-传递
设计,G是D的自同构群旗-传递自同构群。根据引理2.2,我们知道
是一个有限3-齐次置换群。因此,我们可以利用3-齐次置换群分类定理讨论G的类型。又由设计
的非平凡性,我们有
。下面讨论G是仿射型群的情形。根据引理2.3,只需分三种情形进行讨论:
情形(1):
或![](//html.hanspub.org/file/5-1250520x71_hanspub.png)
如果
,由引理2.4可以推出:
,这与
矛盾。
如果
,利用推论2.6,我们得到:
。于是k的可能取值只能是7, 8, 9, 10, 11, 12, 13和14。由引理2.7,得:
![](//html.hanspub.org/file/5-1250520x77_hanspub.png)
代入上述每一个参数k的值,相应地可以求出每一个
值。只有当
时,
是一个正整数,可能满足条件;而当
时,对应的
值不是整数。又由于
,于是r不能整除
,这与引理2.8矛盾。因此,旗-传递
设计的自同构群不能是群
或
。
情形(2):
。
这里
。若
,即
,由情形(1)的证明可知,此时不存在任何非平凡6-设计。以下假设
。设
是向量空间
一组标准基,记
为线性空间V的一个三维子空间。由非平凡设计的定义,我们有
,即
,于是
。现任取子空间
的一个6-子集
,由于
是
的六个互异的元素,不失一般性,记
。同时,假设
是由集合S生成的三个不同的区组,并记
。由于
点-传递地作用在集合
上(引理2.9)。因此,对于
中的某个点
,如果
,那么必有
,且![](//html.hanspub.org/file/5-1250520x112_hanspub.png)
因此
,即
。由引理2.6:
![](//html.hanspub.org/file/5-1250520x115_hanspub.png)
于是
,解得:
。而
,故
。
当
时,
。再由引理2.4可以推出
。
当
时,取
,则
,与引理2.10矛盾,因此不存在非平凡的6 − (16, 7, 3)设计。
当
时,取
,则
,与引理2.10矛盾,因此不存在非平凡的6 − (16, 8, 3)设计。
当
时,取
,则
,与引理2.10矛盾,因此不存在非平凡的6 − (16,9, 3)设计。
因此,旗–传递6 − (v, k, 3)设计的自同构群G不同构于群
。
情形(3): ![](//html.hanspub.org/file/5-1250520x133_hanspub.png)
由于G具有旗-传递性,根据引理2.8,我们有
。再由引理2.2(3),有:
(1)
由引理2.4知
,因此
。由条件
有
。将
及
代入式(1)求得
,容易验证
不整除
,矛盾。因此,这种情形可以排除。
综上所述,一个非平凡的旗-传递
设计的自同构群的基柱不同构于仿射型群。
基金项目
湖南省教育厅科学研究项目(16C0829)资助。