1. 引言
本文研究下列一类广义拟线性Schrödinger方程：
(1.1)
其中div为散度算子，，，为光滑有正下界的偶函数。
方程(1.1)来源于对以下拟线性Schrödinger方程驻波解的研究：
(1.2)
其中，是实函数。对于不同形式的非线性项，方程(1.2)对应了不同的物理现象模型。例如：当时，方程(1.2)是凝波函数在超流体膜中时间演变的模型。当时，方程(1.2)是大功率超短激光在物质中传输的模型。令，其中，为实函数，
。把和代入方程(1.2)后消去含t的项，便得到方程(1.1)。
当时，文献 [1] [2] 通过约束极小化讨论了(1.1)解的存在性。当时，文献 [3] 证明了(1.1)非平凡解的存在性。对于一般的的研究，可参考文献 [4] 。
若进一步，当关于非减时，利用山路定理，文献 [4] 证明了(1.1)非平凡解的存在性。本文在没有非减这一条件下，拟利用ODE方法研究方程(1.1)径向解的存在性。本文的主要结论为：
定理1：在的条件下，方程(1.1)存在径向解，且解是有界的。
2. 定理的证明
令，根据的条件，反函数存在。
把代入方程(1.1)，则有：
(2.1)
因此，对方程(1.1)径向解的研究可以转化成对方程(2.1)的径向解的研究。
事实上，(1.1)等价于
(2.2)
由于，(2.2)两边除以，得：
(2.3)
由于，把代入方程(2.3)便可以得到(2.1)。反之，把代入(2.2)便得到(2.1)。
为了简化符号，记，则方程(2.1)写成如下形式：
(2.4)
引理2.1：在的条件下，关于是局部利普希茨连续的。
证明:由于光滑，故是局部有界的，即，对于任意的，存在使得。另一方面，由于，故也是局部有界的。则对上述，存
在使得。由的表达式可知，是局部有界的。即对上述，存在使得。令：
对于()，利用中值定理可知：
其中介于与之间。
对于，同样利用中值定理可知：
其中介于介于与之间。
由此可知：
故关于是局部利普希茨连续的。
由于本文研究方程(2.4)的径向解，故方程(2.4)可以写成如下的形式：
(2.5)
由于，因此。对函数限定一个初始条件，不妨令。因此对问题(2.4)径向解的研究转化成研究如下的柯西问题：
(2.6)
定理2.2：对于任意的，存在常数，使得问题(2.6)有唯一的解
证明：方程可以写成如下的形式：
(2.7)
对(2.7)两边两次积分可得
(2.8)
显然对(2.8)进行微分可以得到(2.7)。
根据引理2.1，存在，使得；是局部有界的，存在，使得。取，则对于任意，有：
(2.9)
由(2.9)知，对任意，有。利用压缩映像原理可知方程(2.8)有唯一的解。故问题(2.6)有唯一的解。
类似地，有
引理2.3：对于任意的，为实数，存在常数，使得
(2.10)
有唯一的解。
下面研究上的整体解。为了研究局部解和整体解的关系，首先给出延拓的定义。
定义2.1：设函数是问题(2.6)的解。若存在函数，其中，使得对于，有，那么称函数为的延拓。
下面引理的证明可参看文献 [5] [6] 。
引理2.4：设对变量是局部利普希茨连续的，是问题(2.6)的解。则局部解有唯一的延拓需满足下列条件之一：
(1)是整体解；
(2) 存在一点，使得：
定理的证明：由引理2.1，定理2.2知方程(1.1)具有局部解。下面证明此局部解可以延拓成为整体解。令
则存在常数使得成立不等式
(2.11)
此外，
(2.12)
假设是问题(2.6)的局部解。在两边同时乘以，并在上进行积分，可以得到：
(2.13)
定义函数：
(2.14)
由可知
因此是非增函数。故
(2.15)
由(2.11)，(2.14)和(2.15)可知：
因此是有界的。根据引理2.4可知，局部解可以延拓成为整体解。
根据公式(2.14)和(2.15)可知：
即。如果公式(2.12)成立，由的有下界性可以得出的有界性。
NOTES
*通讯作者。
参考文献