1. 引言
对于函数方程的解,我们经常要讨论它的周期性,并确定它的周期 [1] [2] [3] [4] [5] 。文献 [1] 中讨论了8种特殊形式的函数方程并给出了它们的周期。本文将该文相关结果推广到如下一般形式的函数方程:
(1)
显然,当时,方程(1)存在平凡周期解:
不难验证,当时,方程(1)有常数解或,这是平凡周期解。那么对于不为常数的情形,方程(1)是否存在周期解?如果存在周期解,它的周期是多少?这是本文要解决的问题。
2. 主要定理
对于方程(1)是否存在非常数周期解的问题,我们有如下结论:
定理 设f(x)不为常数,
(i) 如果,那么是周期为2T的函数。
(ii) 如果,那么是周期为3T的函数。
(iii) 如果,那么是周期为4T的函数。
证明:由于不为常数,则由(1)式可得:
(2)
于是有。将(2)式代入并整理得:
(3)
(i) 如果,则由(3)式可得,即是周期为2T的函数。
(ii) 由(2)式得
将(3)式代入上式并整理得
(4)
如果,那么有,即是周期为3T的函数。
(iii) 由(3)式得
再将(3)式代入上式并整理得
当时,有,于是得
从而,故有
所以是周期为4T的函数。
3. 几个实例
下面举例说明上述定理的应用。
例1. 若函数满足,其中,则是周期为的函数(文献 [3] 定理3)。
证明:令,则有,对应方程(1)中,,,故由定理中(i)知,是周期为的函数。
注:文献 [1] 中第7点结论是本例在时的特殊情形,文献 [2] 中定理1的两个方程是本例在时的情形。
例2. 若函数满足,则是以3T为周期的函数。
证明:由条件可得
,
因此在方程(1)中,,由定理中(ii)知道,是以3T为周期的函数。
注:若a = 1,则得到文献 [1] 中第8点结论。
例3. 若函数满足,则是以2T为周期的函数。
因此在方程(1)中,由定理1中(i)知道,是以2T为周期的函数。
注:若,,则得到文献 [1] 中第9点结论及文献 [2] 定理2的推论;若,,则得到文献 [1] 中第11点结论及文献 [2] 中的定理2。
例4. 若函数满足,则是以4T为周期的函数。
因此在方程(1)中,显然,故由定理1中(iii)知道,是以4T 为周期的函数。
注:如果,就得到文献 [1] 中第10点结论及文献 [2] 中定理3的推论;如果,就得到文献 [2] 中定理3的结论。
4. 结论
我们的研究表明,抽象函数方程(1)除了在系数满足条件或时存在常数形式的平凡周期解外,还可能在不同条件下分别存在周期为2T、3T和4T的非常数的周期解。
参考文献