关于单位球的乘积B^m×Bⁿ 的全纯自同构群的注记

A Note on the Holomorphic Automorphism Group of a Product B^m×Bⁿ of the Unit Balls

摘要: 设B^m 是m维复欧式空间C^m的单位球，本文利用B^m×Bⁿ的Bergman度量方阵和实多项式1-||z||² 的不可约性，重新得到了单位球的乘积B^m×Bⁿ的全纯自同构群Aut(B^m×Bⁿ)。

Abstract: Let B^m be the unit ball in the m dimensional complex Euclidean space C^m, in this paper using the Bergman metric of B^m×Bⁿ and irreducibility of a polynomial 1-||z||² , we obtain the holo-morphic automorphism group of a product B^m×Bⁿ of the unit balls again.

1. 引言

设为正整数，维复欧氏空间的单位球和单位球与的乘积分别定义为

, (1.1)

, (1.2)

这里为域的全纯自同构群，即的双全纯自映射按映射符合运算构成的群，同样表示域的全纯自同构群。

对的自同构群，有以下熟知的结果，其证明细节可参考 [1] 和 [2] 。

引理1.1设，则存在唯一的和唯一的阶酉矩阵，使得

(1.3)

其中

, (1.4)

这里符号表示阶单位矩阵，表示的共轭转置。

对单位球的乘积的自同构群有许多研究，如 [3] 和 [4] ，在本文中我们使用 [5] 和 [6] 的方法，即用Bergman核和Bergman度量方阵在全纯自同构下的变换公式重新证明了以下定理1.2，在证明中还使用了实多项式在实数域上的多元多项式环上是不可约这一性质。

定理1.2设，则存在，，使得

i) 当时，有

, (1.5)

即

.

ii) 当时，有

, (1.6)

或

, (1.7)

即

,

这里表示二阶置换群。

2. 定理1.2的证明

在定理1.2的证明过程中，我们要用到的Bergman核以及Bergman度量方阵，为方便我们先叙述这些结论，其证明细节可参考 [2] ， [7] 和 [8] 。

引理2.1单位球的Bergman核可表示为

,

于是Bergman度量方阵为

,

这里符号表示矩阵。

定理1.2的证明

令，设是到的全纯自同构，则，使得。仿(1.4)构造和，则是的自同构，是的自同构。定义

,

则为的自同构，且。

定义，则，这表明是把的原点映为原点的自同构。

由Cartan定理得为线性可逆映射，即

其中

又由Bergman核变换公式 [8]

,

以及得

.

这表明，这里表示A的行列式，于是

, (2.1)

这里。

令，因的Bergman核为

. (2.2)

于是得

. (2.3)

由(2.2)有

,

又因

,

以及由引理2.1得

,

这里表示矩阵的共轭转置。

所以当时，有

. (2.4)

根据(2.3)得

. (2.5)

现对等式(2.5)分三种情形讨论。

i) 设，令，则

。

因是不可约实多项式，而为非平凡多项式，以及实数域上多项式环为唯一因子整环，故有，即，因此有。

又由

得

,

即

.

这表明为阶酉矩阵，并且

.

此时

,

其中为酉矩阵。

ii) 当时，仿i)讨论仍有

其中为酉矩阵。

iii) 当时，有

根据(2.4)式得

,

即

.

因分别型矩阵，由上式有且，得，于是

,

这表明为同阶酉矩阵。

综上所述，有以下结论。

1) 当时，

,

这里，分别为阶，阶酉矩阵，令

则为到的自同构，为到的自同构，并且

这表明

2) 当时，

或

这里为阶酉矩阵，此时

或

这表明

并且

基金项目

国家大学生创新创业训练计划项目(No: 201610649047)；乐山师范学院科研项目(No: Z1513)。

^*通讯作者。