1. 引言
Poisson方程在流体力学中有着广泛的应用。例如，在具势流动的势函数求解和涡流系统的流函数求解等问题中，Poisson方程的求解直接影响流体力学量的精度。最近研究表明，格子Boltzmann方法(LBM)可成功应用于求解反应扩散方程 [1] 、交叉扩散方程 [2] 、Ginzburg-Landau方程 [3] 、波动方程 [4] 、Poisson方程 [5] [6] 等。本文提出了一种用于Poisson方程的有限差分格子Boltzmann模型(FDLBM)。与以前的LBM模型不同 [7] [8] [9] [10] ，本文所构造的模型没有粒子速度，在迭代中只有粒子从一个位置到相邻位置的位移。与其它调用矩阵公式和带有预处理的LBM不同，我们将有限差分格式引入到标准LBM方程中。数值结果表明，该模型与解析解吻合的很好。
2. 格子Boltzmann模型
2.1. 迭代方程
考虑一维空间，将其离散成网格，网格中心与相邻的个格点通过格线相连。每个格点的粒子可以分为个部分，每一部分的状态只与本身和相邻粒子有关。定义从位置到同一位置的位移为，从位置到其他相邻格点的位移为
. (1)
其中，分别为x，y方向的单位矢量。
由于二维Poisson方程独立于时间，所以把LBM方程改写为
, (2)
其中为位置粒子的分布函数，为同一位置的平衡态分布函数，为松弛因子，为空间步长的量级，为方向的单位矢量。
定义宏观量
(3)
此外，局部平衡态分布函数满足守恒条件
(4)
认为模型中为迭代后的最终状态，而不是过渡状态。迭代过程从宏观量的任意分布开始到最终平衡状态结束，即Poisson方程的解。所以方程(2)写为
(5)
在方程(5)中，由于不含时间，所以迭代的表述与标准LBM方程不同。宏观量只用，即位置及其相邻位置的分布值计算。因为方程中没有项用来迭代，所以不需要流动过程。
将方程(5)中的写成五点差分格式，其精度为二阶精度。令结点坐标为，四个相邻结点坐标依次为，，，。带入五结点差分公式，得到二阶精度Poisson方程的FDLBM模型
(6)
其中定义为。
特别地，二阶精度Laplace方程的FDLBM模型表示为
(7)
四阶精度的差分格式与九个结点有关，带入方程(5)，得出四阶精度Poisson方程的FDLBM模型
(8)
相应地，对于Laplace方程，(8)式可表示为
(9)
2.2. 精度分析
将(6)式两端对求和，得出关于的方程
, (10)
其中，表示的结果，为迭代步数。在点附近进行Taylor展开，有
. (11)
当时，等价于。那么，
. (12)
同样地，(8)式两端对求和，得出关于的方程
(13)
在点附近进行Taylor展开，得
(14)
因为，所以
. (15)
即
. (16)
方程(12)和(16)分别为二阶和四阶精度的修正Poisson方程。
3. 数值算例
下面应用本文所提出的FDLBM模型求解Laplace方程和Poisson方程。
例1：考虑一个二维Laplace方程
. (17)
其Dirichlet边界条件为，，，。方程的解析解为
(18)
本文使用了二阶和四阶模型计算例1。其模拟结果与解析解的比较如图1所示。其它参数为：格子数，，。计算域内宏观量的初值为0，边界条件为上述的Dirichlet边界条件。在模拟过程中，边界上函数的分布等于平衡态分布，由宏观量给出。把的新旧值之差设置为结束迭代的条件，当最大差值小于时，迭代结束。然后，的值即为Laplace方程的数值模拟结果。图1(a)和图1(b)分别给出了和时的模拟结果，其中和分别为五结点和九结点FDLBM模型的迭代步数；图1(c)为解析解。从图中可以看出数值模拟结果与解析解有很好的一致性。
为了进一步比较，图2给出了处的解析解和数值解曲线以及两个FDLBM模型的绝对误差曲
(a) (b) (c)
Figure 1. Comparison between the numerical results and the exact solution of Laplace equation: (a) 5-bit FDLBM model; (b) 9-bit FDLBM model; (c) Exact solution
图1. Laplace方程的数值解与解析解的比较：(a) 五结点FDLBM模型；(b) 九结点FDLBM模型；(c) 解析解
(a) (b)
Figure 2. (a) Comparison between numerical results and analytical solution at x = 0.3; (b) The absolute errors of the two FDLBM models for Laplace equation at x = 0.3
图2. (a) Laplace方程数值解和解析解在x = 0.3处的比较；(b) Laplace方程两个FDLBM模型数值解在x = 0.3的绝对误差曲线
线。绝对误差，其中为数值解，为解析解。从图2(a)中可以看出，FDLBM模型与解析解吻合的很好；图2(b)表明，九结点模型比五结点模型误差小，两个模型的误差都是可接受的。此外，表1给出了不同位置的解析解和数值解以及绝对误差。从表中可以看出，FDLBM模型的误差是令人满意的。
例2：考虑下列齐次Helmholtz方程 [5] [11]
(19)
计算域为。边界条件与解析解相同，即
，；
，。
在本文中，，。该方程的解析解为
(20)
图3(a)、图3(b)和图3(c)分别给出了五结点模型、九结点模型和解析解的计算结果，其中五结点模型和九结点模型的迭代步数分别为和。除边界外，迭代的初值条件为。程序终止的条件与例1相同。从图中可以发现，FDLBM模型的模拟结果与解析解吻合的很好。
此外，图4和表2给出了FDLBM模型的计算结果与解析解的比较。格子数为，松弛因子。可以看出，两个模型的绝对误差都小于，FDLBM模拟结果与解析解有较好的一致性。图4和表2表明，我们的模型可以用来模拟Poisson方程。
在两个数值例子中，松弛因子都等于0.99。在模拟过程中，我们发现；并且随着的增大，数值结果更精确。
Table 1. The comparison between exact solution and LBM results and the absolute errors of the two models at x = 0.3 for Laplace equation
表1. Laplace方程x = 0.3处的解析解和LBM结果的比较以及两个模型的绝对误差
Figure 3. Comparison between the numerical results and the exact solution of Poisson equation: (a) 5-bit FDLBM model; (b) 9-bit FDLBM model; (c) Exact solution
图3. Poisson方程的数值解与解析解的比较：(a) 五结点FDLBM模型；(b) 九结点FDLBM模型；(c) 解析解
Figure 4. (a) Comparison between numerical results and analytical solution at x = 0.3; (b) The absolute errors of the two FDLBM models for Laplace equation at x = 0.3
图4. (a) Laplace方程数值解和解析解在x = 0.3处的比较；(b) Laplace方程两个FDLBM模型数值解在x = 0.3的绝对误差曲线
Table 2. The comparison between exact solution and LBM results and the absolute errors of the two models at x = 0.3 for Poisson equation
表2. Poisson方程x = 0.3处的解析解和LBM结果的比较以及两个模型的绝对误差
4. 结论
与以前的格子Boltzmann模型相比，本文提出的模型优势是可以直接模拟定常问题，不需要采用时间相关法。由于采用不含时间的格子Boltzmann方程，使得算法清晰，程序代码简单。
我们发现，松弛因子被限定在区间内，这是由于迭代过程是松弛迭代，而不是超松弛迭代。与经典格子Boltzmann模型不同，本算法松弛因子在区间是稳定的，而在区间不稳定。随着的增大，收敛被加速，数值结果变得精确。
从计算结果中发现，九结点模型比五结点模型误差小，这是因为九结点模型包含了更多相邻结点的信息，使得九结点模型是四阶精度而五结点模型是二阶精度。
基金项目
国家自然科学基金No. 51406067, No. 11272133；吉林省教育厅科研项目(吉教科合字[2016]第141号)。
参考文献