1. 引言
弹丸的稳定飞行具有极其重要意义,要研究这个问题需要建立6自由度的弹丸运动方程组 [1] - [6] ,并进行数值求解,过程复杂而不直观。ADAMS是著名的机械系统动力学仿真软件,可以方便快捷地建立复杂机械系统的动力学模型,直观清晰地展示机械系统的动力学行为,在各行各业获得日益广泛的应用。本文希望将这一先进的动力学仿真工具用于弹丸陀螺稳定性的仿真研究,为弹丸飞行力学研究提供一种新的途径。旋转弹丸的模型建立比较简单,但弹丸上的翻转力矩的施加是一个难点,因为翻转力矩垂直于弹轴和弹丸质心速度矢量的平面,即阻力面,由于弹丸进动,阻力面不断旋转,因此,翻转力矩的方向是不断变化的,既不固定在弹丸上,又不固定在空间某一点。本文基于矢量叉乘公式得出了在惯性坐标系中翻转力矩矢量的分量表达式,通过FORTRAN语言编程,实现了翻转力矩的施加。最后应用ADAMS2010建立了旋转弹丸的仿真模型,进行了多工况仿真实验。研究结果对弹丸的稳定性设计和基于ADAMS的弹道仿真具有一定的参考价值。
2. 翻转力矩的施加
翻转力矩幅值的表达式如下 [1] [2] [7] :
(1)
其中ρ为空气密度,v为弹丸飞行速度,S为弹丸最大横断面积,l为弹丸特征长度,为翻转力矩系数导数,δ为攻角。在攻角较小时(保持弹丸陀螺稳定性的攻角即为小攻角),只与v有关。在小攻角时(1)式可以简化为:
(2)
显然上式中的kv在小攻角时只与v有关。
在图1所示的弹丸模型中,翻转力矩方向的单位矢量表达式为:
(3)
其中是是翻转力矩方向的单位矢量,是弹轴上的单位矢量,是弹丸质心速度方向的单位矢量。坐标系oxyz是惯性坐标系,、构成的平面即为阻力面,、、在惯性系中的分量分别是:
、、,则有
(4)
D1、D2是弹轴上两点,其在惯性系中的坐标分别是、,则
(5)
其中是两点间的距离。
在仅考虑弹丸的陀螺稳定性时,可以认为速度矢量的方向不变,即是常矢量。在图1所示的弹丸上,质心速度矢量与惯性系轴平行,则,这样(4)式简化为:
(6)
根据(2)、(6)式可以在弹丸上施加有三个分量的翻转力矩矢量,由于用到弹轴上两点D1、D2的位置坐标,且弹轴的方位是不断变化的,需要调用ADAMS的位置坐标提取函数。通过FORTRAN子程序结合ADAMS的自定义函数,应用(2)、(6)式实现翻转力矩的施加。
3. 翻转力矩幅值为定值时的仿真
为了研究方便,先考虑翻转力矩幅值为定值时的情况,且在本文的仿真实验中,弹轴与弹丸质心速度矢量的夹角(即攻角)的初始值均设定为10˚。弹丸转速为10转/秒,翻转力矩幅值为0.3牛顿米,弹尖上一点(D2)在垂直弹丸质心速度矢量的平面内的轨迹如图2所示,攻角变化如图3所示。
图2表明弹丸做进动和章动合成运动,图3表明弹丸攻角不断减小,体现了弹丸运动的陀螺稳定性。对于一个给定的转速,通过大量仿真计算可以确定常数翻转力矩的稳定阈值,超过该阈值,弹丸就会失去旋转稳定性。为了揭示弹丸攻角的变化规律,将弹丸运动过程的仿真时间延长至250秒,如图4所示,显然攻角最终达到稳定值,弹丸转化为规则进动。
弹丸转速为定值10转/秒时,翻转力矩幅值分别取0.1牛顿米~0.5牛顿米的5个定值进行5次仿真,得到的弹丸进动周期和章动周期随翻转力矩幅值的变化曲线如图5所示。翻转力矩幅值为定值0.3牛顿米时,弹丸进动周期和章动周期随弹丸转速的变化曲线如图6所示。
4. 翻转力矩幅值随时间变化时的仿真
实际上翻转力矩随攻角和弹丸飞行速度变化,在研究弹丸陀螺稳定性时,可以认为在一个时间区间
Figure 2. The Meplat track in a plane
图2. 弹尖点在平面内的轨迹
内,弹丸的飞行速度变化较小,因此(2)式中的kv可视为常数,这样翻转力矩只是攻角的线性函数:
(7)
为了便于与上面的仿真结果做对比,将攻角为10˚时的翻转力矩幅值设定为0.1牛顿米,则翻转力矩幅值的表达式为:
(8)
Figure 4. The varying curve of the attack angle
图4. 攻角变化曲线
Figure 5. The variations of precession and nutation with turning torque
图5. 进动与章动周期随力矩变化
弹丸转速为10转/秒(r/s),弹尖点运动轨迹如图7 (50 s仿真),攻角变化如图8。
5. 结论
1) 只要弹丸保持旋转稳定,翻转力矩幅值不变与变的情况下,弹丸最终都能达到规则进动状态(图4、图8)。
2) 弹丸转速一定时,弹丸进动周期随翻转力矩幅值增大而减小,章动周期基本不变(图5)。
Figure 6. The variations of precession and nutation with revolving speed
图6. 进动与章动周期随转速变化
Figure 7. The Meplat track in a plane
图7. 弹尖点在平面内的轨迹
3) 翻转力矩幅值一定时,弹丸进动周期随转速增大而增大,章动周期随转速增大而少许减小(图6)。
4) 弹丸的实际自转角可以高达100转/秒左右,本文仿真的弹丸转速最高为50转/秒,二者有较大差距,这样做的原因一方面是出于应用ADAMS进行弹丸陀螺稳定性的规律性和可行性探索,另一方面则是出于仿真效率的考虑,弹丸每转一周,ADAMS积分器至少需要积分50次才能保证仿真精度。
5) ADAMS可以实现弹丸的陀螺稳定性仿真,可以进行弹丸转速、翻转力矩和稳定性之间的关系研究。可以将上述弹丸陀螺稳定性的研究方法推广应用于弹丸追随稳定性研究,从而将ADAMS软件应用
Figure 8. The varying curve of the attack angle
图8. 攻角变化曲线
于弹丸飞行的全弹道仿真研究,为外弹道学研究开辟一条新途径。