1. 引言
本文考虑如下带有混合奇异项和测度项的分数阶p-Laplace方程:
(1.1)
其中
是一个有界光滑区域,
,
,
,
,
且在
上几乎处处为正,
是
中的非负Radon测度。
是分数阶p-Laplace算子,其定义是:
。 (1.2)
在局部设置下,Crandal M. G.,Rabinowitz P. H.和Tartar L.在 [1] 中最早研究带有奇异非线性项的半线性问题,已经有大量带有奇异非线性项的Laplace方程和p-Laplace方程解的存在性和多重性结果的工作(见 [2] [3] [4] [5] )。
2010年,Boccardo L.和Orsina L.在 [6] 中研究了如下一类带有奇异非线性项的Laplace方程:
(1.3)
其中
,f是Lebesgue空间中的非负函数,
是一个有界光滑函数。作者通过研究原问题的逼近问题,利用逼近问题解的性质,结合Lebesgue控制收敛定理证明了方程解的存在性,以及解所位于的
空间。在文章结尾部分,作者简要介绍了如果将
用混合非线性项
代替,我们仍然可以用类似
的方法证明方程解的存在性。
2015年,Barrios B.,Bonis De I.和Medina M.在 [7] 中研究如下方程解的存在性:
(1.4)
其中
是一个有界光滑区域,
,
,
,
,
,f是一个非负函数。在
,
的情况下,作者对原方程解的存在性研究受到 [6] 的启发,用类似 [6] 中的方法证明了原方程弱解的存在性。若令
,可以得到和局部情况下,即与 [6] 中相一致的结果。
类似这样只带有一个奇异项的研究还有很多。2016年,Canino A.,Sciunzi B.和Trombetta A.在 [8] 中研究了带有奇异非线性项的p-Laplace方程解的存在性,2017年,Canino A.等人在 [9] 中将p-Laplace算子推广到分数阶p-Laplace算子,研究了带有奇异非线性项的分数阶p-Laplace方程解的存在性。也有一些作者研究了带有混合奇异项和测度项的分数阶Laplace方程。2021年,Masoud B.A.,Mahmoud H.在 [10] 中研究了如下的分数阶Lapalce问题:
(1.5)
其中
是一个有界光滑区域,
,
,
,
是一个Holder连续函数,
。在
的情况下,作者证明了(1.5)存在一个弱解
,其中
,
。此外,
,其中
。
受以上文献的影响,本文在
的情况下研究问题(1.1)解的存在性。本文的主要结果如下:
定理1.1 已知
,
,
,
,
是
中的非负Radon测度,如果
,
那么问题(1.1)存在一个正的弱解,且满足
在
中是一致有界的,其中
,
。更
进一步,
在
中一致有界,其中
。
这里的
是截断算子,定义为:
2. 预备知识
定义
表示
上使得
的函数集合,定义
上的范数为
,已知
,
,
,定义空间
,
其范数记为
,其中
称为Gagliardo半范数。
对于
,
,定义空间
是
中使得
成立的函数集合。
也被称为Aronszajn,Gagliardo或者Slobodeckij空间,
是一个Banach空间。在
上定义范数
。
在本文中,定义
表示函数f的紧支集,
表示
是
中的一个紧集。对于
是一个有界开集,定义
是
相对于范数
在
中的闭包,在这里
。
在范数
下是一个自反的Banach空间。下面回顾分数阶庞加莱不等式。
引理2.1 [11] 令
是
中的一个有界开集,
是属于
的,
,
。那么存在一个常数
使得对于任意的
都有
。
在引理2.1的假设下,
上可以定义范数:
该范数和
是等价的。
令
,
在这里,
表示
在
中的补集,定义
上的范数为
。
其中
。
在本文的证明中将用到分数阶索伯列夫嵌入不等式,它表示
连续嵌入到临界Lebesgue空间
中,其中
。其证明可见 [12] [13] 。
定理2.1 (分数阶Sobolev嵌入不等式) 已知
,
,
,那么存在一个正常数
,对任意
都有
。 (2.1)
我们进一步将
中的所有非负Radon测度构成的函数空间记为
,其范数记为
。
对
,
被称为Marcinkiewicz空间,是所有满足
,
其中
,
的可测函数
的函数集合。
上的范数记为
。
对于
,我们有
嵌入到
是连续的。更多关于
的相关知识可以参考文献 [14] 。
下面,给出问题(1.1)弱解的定义:
定义2.1 已知
是一个非负函数,定义一个可测函数
是问题(1.1)的弱解,如果
满足:
(1) 对于任意的
,都存在
使得在
中
成立;
(2) 对于任意的
,都有
成立。
3. 主要引理的证明
为了证明问题(1.1)解的存在性,考虑其逼近问题。假设
,
,对于
,定义截断函数
。
考虑如下逼近问题
(3.1)
其中
是
中的非负光滑函数,且依测度弱收敛至
。我们定义
是问题(3.1)的弱解,若
对于任意的
都成立。
引理3.1 对于所有
,问题(3.1)有一个弱解
。
证明:固定
,令
,
(3.2)
其中
。由 [9] 中的引理2.1,问题(3.2)的存在唯一的一个弱解
。定义映射
,
取
作为问题(3.2)的测试函数,得到
分数阶Sobolev嵌入不等式,于是
,(3.3)
其中
和
与
无关。因此半径为
的球在
的作用下是不变的。为了利用Schauder’s不动点定理证明问题(3.1)解的存在性,我们需要证明
是一个连续的、紧算子。
我们首先证明
是连续的。已知
和
,且
,由
在
中的强收敛性,存在
的子列,仍记为
,有
在
中,
对于
几乎处处成立。
定义
和
,我们有
(3.4)
和
。 (3.5)
取
为(3.4)和(3.5)的测试函数,可以得到
和
对上述等式做减法,利用基本不等式,我们得到,当
时,有
(3.6)
当
时,有
(3.7)
对(3.7)右侧的两项用Holder不等式和分数阶Sobolev嵌入不等式,我们得到
和
其中
。再次利用(3.7)可以得到
注意到
和
,
由控制收敛定理和
对于
几乎处处成立,容易得到
。
对(3.6)式左侧利用三角不等式,右侧重复以上步骤,最终可以得到
对于所有的
都成立,即
是连续的。
接下来证明
是一个紧算子。令
且满足
。那么存在
的一个子列和
,我们仍记为
,使得在
中
,在
中
,其中
。定义
和
,由(3.3),我们得到在
中,在
中成立。类似于S的连续性的证明过程,取
作为测试函数,利用Holder不等式,很容易得到
,
这就表明S是一个紧算子。由Schauder’s不动点定理,存在
使得
。即
是问题(3.1)的弱解。此外,因为(3.1)的右侧属于
,由 [9] 中的引理2.2,我们得到
。证毕。
下面的一个引理重复 [9] 中引理2.4的证明方法即可得证,在此我们不再叙述证明过程。
引理3.2引理3.1中的
满足对于任意的,都存在一个与
无关的正常数
使得
和
对于任意的
和
都成立。
引理3.3 [15] 假设
,
,
,那么
。
引理3.4 令
是问题(3.1)的解。如果
,那么序列
在
中一致有界,其
中
,
。更进一步,
在
中一致有界。
证明:固定
,取
作为(3.1)的测试函数。所以。我们得到
由
的定义,可以得到
,
其中
是一个与
无关的常数。所以
在
中一致有界。由分数阶索伯列夫嵌入不等式(2.1),我们得到
。
对于不等式的左边,在集合
上,有
,所以
,
于是
。
所以,
在
中是一致有界的,因此在
中是一致有界的,其中
。
对于任意的
和
,定义函数
。
观察到函数
满足
和
对于任意的
都成立。取
作为问题(3.1)的测试函数。于是,我们可以得到
令
,我们有
。
下面将证明
在在
中一致有界,其中
,
。
令
,我们可以得到
由Holder不等式,我们得到
其中
。所以,由引理3.3,
由Young不等式,可以得到
观察到
其中
表示
中单位球的Lebesgue测度。由
、
的对称性,存在一个与
无关的常数
使得
。
现在,我们选择
使得
。也就是说
。
为了保证
的存在,必须有
,即
。因此序列
在
中一致有界,其中
,
。证毕。
4. 主要结果的证明
定理1.1的证明:对于引理3.4中的序列
,存在序列
的子列,仍记为
,以及可测函数
,使得
在
中,
在
中,其中
,
,
在
中几乎处处成立。
存在一个正函数
,其中
,
使得
对几乎处处的
成立。
显然
在
中是一致有界的,其中
,
。由法图引理,
在
中一
致有界,其中
。下面证明
是问题(1.1)的弱解。
选择
作为(3.1)的测试函数,于是
(4.1)
由引理3.2,对于任意的
,记
,那么存在一个与
无关的正数
使得
,
由Lebesgue控制收敛定理,得到
。
同理,
,
。
对于(4.1)式等号左侧,由 [9] 中定理3.2的证明过程,显然
于是,对(4.1)式的左右两边同时取极限,可以得到
对任意的
都成立。即
是问题(1.1)的弱解。证毕。