1. 问题的提出
值分布理论,又称Nevanlinna理论,是复分析发展史上最深刻的研究领域之一,起源于对亚纯函数值的分布情况的研究,正规族理论的核心问题是关于正规定则的研究。在亚纯函数的值分布和正规族理论中,有一个著名的现象(Bloch原理),即如果在一个区域
有性质
使得亚纯函数在整个复平面上是常数,那么这个亚纯函数族就是正规的。Zalcman给出了更精确的叙述(Zalcman引理)去判断亚纯函数族的正规性。而在全纯曲线的例子中也存在一些类似的现象。
2015年,叶亚盛、庞学诚和杨刘 [1] 在考虑全纯曲线f与其导曲线
“强分担”超平面的情形,证明了下面定理。
定理1:设
是一族从区域
到
的全纯曲线,
是
中的
个处于一般位置的超平面,
是一个实数,
。若对于任意的
,满足下列条件:
(1)
与
在D上“强分担”
,其中
;
(2) 若
,那么
,其中
是一个坐标超平面,
则
在D上正规。
这里的“强分担”意味着
,且满足
的点上有
。
刘晓俊、庞学诚和杨锦华 [2] 对于首项系数非零的超平面,将定理1中的“强分担”减弱为“分担”,得到了下面定理。
定理2:设
是一族从区域
到
的全纯曲线,
是
中处于一般位置的超平面,这里
且
,
。若对于任意的
,满足下列两个条件:
(1) 若
,则
,其中
;
(2) 若
,那么
,其中
,
是一个常数。
则
在D上正规。
去掉了超平面首项系数非零的限制,在
的情况下,刘晓俊与庞学诚 [3] 得到下面的定理。
定理3:设
是一族从区域
到
的全纯曲线,令
,
是
中处于一般位置的超平面,其中
,
。假设对任意的
,满足下列两个条件:
(1)
当且仅当
,其中
;
(2) 若
,那么
,其中
是一个常数。
则
在D上正规。
随后,郑晓杰和刘晓俊 [4] 考虑了
的情形,在额外增加一个超平面的情况下,证明了如下定理:
定理4:设
是一族从区域
到
的全纯曲线,令
,
是
中处于一般位置的超平面,其中
,
,假设对任意的
,满足下列两个条件:
(1)
当且仅当
,其中
;
(2) 若
,则
,其中
是一个常数。
则
在D上正规。
范楚君和刘晓俊 [5] 又考虑了当
时,分担处于t次一般位置的超平面的正规定则,对于
的情形,得到了如下定理。
定理5:设
是一族从区域
到
的全纯曲线,令
,
是
中处于t次一般位置的超平面,其中
,
,如果对任意的
,满足下列两个条件:
(1)
当且仅当
,其中
;
(2) 若
,则
,其中
是一个常数。
则当
时,
在D上正规。
本文继续研究上述问题,通过改进研究方法,总结分析后,得到下面结论。当
时,对处于任意
次一般位置的超平面,找到了可以使得结论成立的最小的超平面个数,即如下定理。
定理6:设
是一族从区域
到
的全纯曲线,
为整数,设
是
中k个处于t次一般位置的超平面,其中
,
,
,
,
如果对任意的
,满足:
(1)
当且仅当
,其中
;
(2) 若
,那么
其中
是一个常数。
那么
在D上正规。
注:实际上,定理6是对定理4和定理5的进一步推广和总结,由定理6可知,当
时,对任意的
,只要k满足
(*)
即可得到
在D上正规。
对定理4,当
时,
,而由(*)式可得,此时当
,
在D上正规,于是取
。
同理,对定理5,当
时,
,而由(*)式得只需
,而;
时,
,而由(*)式得只需
;
时,
,由(*)式得需
,故此时
个超平面无法得到
在D上正规,需增加超平面数量。
2. 符号与定义
首先介绍有关
的定义和符号,
为N维复射影空间,对于
,
,
当且仅当存在
,使得
,
的等价定义为
,则
,
其次,设
是全纯曲线,U为D的开子集,任意在U内满足
的全纯曲线
称为f在U上的即约表示,其中
为典型的商映射。
定义1:对于任意开集
,若
是U上没有公共零点的全纯函数,则称
为f在U上的一个即约表示。
设
为一个超平面,记
。在本文中,我们只考虑
的标准化超平面。
对全纯曲线f的任意即约表示
,定义全纯函数
再取
定义2:设
是一条全纯曲线,
,
是f在z处的任意一个即约表示,记
为f在z处的Fubini-Study导数,简记为F-S导数,其中
。
定义3:设
是一条全纯曲线,
是f在z处的任意一个即约表示,若
其中,
为f的特征函数,则称f为有穷级的。
设
为
中的超平面,则:
,其中
是模为1的法向量,
。
根据文献 [6] 有下面关于次一般位置的定义。
定义4:设
均为正整数,且有
,
,若对任意集合
,
,存在单射
,使得
处于一般位置,则称
处于t次一般位置。
根据文献 [7] 对于超曲面的次一般位置,有下面定义:
定义5:设
是一个非空闭子集,t为正整数,
是
中q个超平面,
,如果对任意的
,有
则称他们关于M处于t次一般位置,当
,即超曲面关于
处于t次一般位置。
特别地,当
时,称为处于一般位置。
最后,根据文献 [1] 中导曲线的定义,有如下定义:
定义6:设f是从区域D到
的全纯曲线,
是f在D上满足
的即约表示,
,则称
为f关于第
个分量的全纯导曲线,其中
为全纯函数,使得
与
没有公共零点,
。
简单起见,将
记为
,显然有
的定义与f的既约表示的选取无关
3. 主要引理
众所周知,Zalcman引理为正规族理论中一个非常重要的引理,其在证明正规定则的时候起着核心的作用。在给出主要定理的证明过程之前,需要如下从
到
的全纯映射的Zalcman引理。
引理1 [8] 设
是一族从双曲区域
映到
的全纯映射。若
在
上不正规,则存在子列
,点列
满足
,正数列
满足
,使得
在
上内闭一致收敛于从
映到
的非常值全纯映射
。
在主要定理的证明过程中,还需要如下的引理。
引理2 (Hurwitz引理) [2] 设
是定义在区域
内的一列全纯函数,
是任意一个复数,且设
在D的任意一个紧子集上一致收敛于非常值的全纯函数
。若存在点
,使得
,则对于每一个充分大的n,方程
在D内有根。此外,存在
的某邻域U,使得
在U内根的总数与在
内根的总数相同(计重数)。
引理3 (Picard型定理) [9] 设
是一条全纯曲线,其中X是
中的一个闭子集。再设
是
中的超曲面,关于X处于t次一般位置。若f不取
,即
,
,则f必为常值曲线.。
为了方便利用上述引理辅助证明,得到了如下推论。
引理4 [6] 设
是一条全纯曲线,
均是
中处于t次一般位置的超平面,其中
,
,若对每个
,f不取
,或者
,则f必为常值曲线。
引理5 [3] 设
是有穷级的全纯曲线,
,
为整数。
是
中处于一般位置的超平面,且其第一系数
均不为零,
。
是g的任意即约表示,令
若
,且
,
则g是线性退化的。
引理6 [10] 设
为整函数,若
的球面导数
有界,则
的级至多为 1。
4. 定理的证明
首先假设
在D上不正规,则由引理1可得,存在点列
满足
,全纯曲线列
,正数列
满足
,使得
其中,g是从
到
的有穷级的非常值全纯曲线。
设
是g在
上的某个既约表示。
由于
是处于t次一般位置的超平面,
,由次一般位置的定义可得,至少存在
个超平面的第一系数不为零。不失一般性,假定
的第一系数均不为零。
又由引理4及g非常值知,存在某个
,不失一般性,假定
,以及某个
,使得
,但
。
类似于定理4中的证明,有如下结论:
断言a.
,从而
断言b.
的第一系数必为零,即
以下分为两种情形进行讨论。
情况1
线性非退化。
由断言b,有
不取
,
即
类似于定理4的情况(A)的证明过程,可得
,
,
。又由于
处于t次一般位置,且
,在上述
个超平面中任取
个,其中必定存在4个超平面处于一般位置。再由引理5,取
,可知
线性退化,矛盾。
情况2
线性退化。
此时,存在不全为零的数
,使得
情况2.1,
线性无关
此时,
,所以存在常数
使得
又由引理4的证明可得
,则
且
是全纯的
,
由Zalcman引理的证明可得
,则存在常数
,使得
。则由引理6可知
,
,又由断言b,
,或
,因此当
,
时,
;当
时,仍然记
,此时
。
任取
,不失一般性,令
,
,则存在某个单射
,使得
处于一般位置,从而
,其中
设
,
为常数。因此
由于
线性相关,所以存在非零向量
,使得
,因此
不全为0,则
线性相关。
断言c:存在某个单射,
,使得
线性无关。
断言c的证明:
不失一般性,假设存在常数
,有
,由于
,所以
从而
,设
,则有
,若
,则方程
有非零解,因此,存在不全为 的常数
使得
,则
即
,因此
线性相关,矛盾,从而
。
若
线性相关,则存在不全为0的常数
使得
,因此,
,这意味着
线性相关,
矛盾,断言c得证。
所以
线性无关,则
均不为0,且
互不相
等。又因为
,则
。
综上所述,任取
,
,存在P中的3个元素线性无关。因此,
中任取
个,有且仅有3个元素不同,当某个
,对应的
必与其他的线性相关,故不考虑。
由于
,在
个
中,只有3个不同的
,则最少的一种的个数小于等于
,又取
个时,有
个取不到,则可以只取另外两种,一共取
个,此时取出的
个
只有2个元素不同,故不能满足要求,矛盾。
情况2.2
线性相关
此时存在不全为零的数
,使得
情况2.2.1 若
,则
可由
线性表出,即存在常数
,使得
,
,则
,
由于
是处于t次一般位置的超平面,则不失一般性,设
线性无关,
,则必存在某个
使得
。对于上述的
,若
,则有
,这意味着
,矛盾。类似于定理4的证明可知,
,
。
若
的第一系数均不为零,即
,则由断言b有g不取
或
,
。由引理4知,
为常值映射,矛盾。
因此,至少存在两个
,
使得
,设
,
。
又假设
的首项系数非零,即
,则g不取
或
,
。若对任意的
,有
或
,
,则
为常值映射,矛盾。因此存在某个
,
,使得
且
。
断言d:
的零点
均是重级的,且
也是
的重级零点。
设
,则
。由式2可得,
,由于
,故
。
由引理2,存在序列
,
,使得
,则有
,由定理6的条件a有,
。所以
令
,则
得
。即
也是
的重级零点,且
的零点是重级的,
的零点也是重级的。
这意味着
,因此至少存在一个
有
,不失一般性,取
。
类似地,可证得
均为零。因此,
的零点
均是重级的,且
也是
的重级零点,
,若对于任意的
,
,
,则由引理4,
为常值函数,矛盾。因此,存在某个
,
使得
但
,这意味着
矛盾。
情况2.2.2
,则
不全为零;
若
,则
可由
线性表出,用相同的证明方法,可得矛盾。
若
,则
,由
知
,矛盾。
综上所述,
在D上正规,证毕。
注:当k的值继续变小,不满足
时,即
时,最少的
的个数大于等于
大于
,则任取
个一定有3个不同,故无法推出矛盾,则无法证明
在D上正规。
5. 小结
本文从前人在
上
的证明中得到灵感,进行进一步推导,得到了在
上
时的一般性结论,但是由证明方法无法推广到
上,因为证明本质是通过一系列方法降维,把问题从
降维到
,然后再利用前人方法得到证明,但是在
降到
时,此方法无法通用,因此,期待有人能找到新的降维方法。
参考文献