1. 引言
“3x + 1”问题是20世纪30年代在世界各地流传的数学推算问题:一个自然数,如果是偶数,则除以2;如果是奇数,则乘以3加1,循环往复,最后得到的结果必是1 [1] 。1950年德国数学家卡拉兹(Callatz)在马萨诸塞州召开的国际数学家大会上提出来“3x + 1”问题 [2] ,也称为“乌拉姆问题”或“角谷猜想”。
2. 定义
(一) 定义1
任意正整数,若它是偶数便用2n去除使其成奇数,若它是奇数便将它乘以3后加上1,又用2n去除使其成奇数,这种方法称为“[x]法”;将一个奇数乘以2n后减去1,再用3去除,若其结果是奇数的话,称这种方法为“逆[x]法”。
(二) 定义2
一个正整数使用[x]法后将其得数再使用[x]法,照这样继续下去最后的结果是1的话,称这个数为“[x]数”;一个正整数对它使用[x]法后将其结果再使用[x]法……,反复对其使用[x]法后的结果永远都大于1,则称这个数为“非[x]数”。
3. 性质
(一) 性质1
由
知:任一正奇数用[x]法处理一次后的结果与这个数的4倍加1后用[x]法处理一次后的结果是相同的。
推论:
由性质1和[x]数的意义有:①若一个数是[x]数,对它使用[x]法和逆[x]法后的结果都是[x]数;②若一个非[x]数对它使用[x]法和逆[x]法后的结果也是非[x]数;③若一个正奇数是[x]数,将它乘以2n后,仍然是[x]数。
(二) 性质2
若对
使用[x]法一次后的结果为b,写作“
”且b是唯一的得数,我们称它为[x]法的“唯一性”(以上
、b为正奇数,n为正整数,下同)。
(三) 性质3
将正奇数数列:1、3、5、……,2n − 1中从第一项起,通过间隔一项,再取一项的方法,从而组成一数列,余下的项也组成一数列,有:
1、5、9、……、4n − 3 (1)
3、7、11、……、4n − 1 (2)
由
和
知,(1)式中任一个数的3倍加上1后,皆能被4整除;而(2)式中任一个数的3倍加上1后,只能被2整除,而不能被4整除。
(四) 性质4
已知
不能被3整除,由定义1可知,被3整除的奇数不能使用逆[x]法。从而,易证不能被3整除的奇数可以使用逆[x]法。
(五) 性质5
[x]数的树枝现象:将正奇数从小到大依次用[x]法处理,在这些繁杂的得数中,若有相同的数,只留一个,且用“→”连结,这些用“→”连结的数便像一棵树一样,如下图1所示 [3] :
![](//html.hanspub.org/file/2-2623868x14_hanspub.png?20240516083515307)
Figure 1. Schematic diagram of tree branch phenomenon with [x] number
图1. [x]数的树枝现象示意图
、
、……、
(其中j是自然数)。
由上图可得几点重要性质,列举如下:
(1) 在“
”中当
不能被3整除且
时,
、b都是称这棵树的“栉”、“→”称作有向[x]线;(或者叫“枝”)。任一[x]数使用[x]法后的得数又被使用[x]法,……,其中到达最终数字1的有向[x]线是唯一的。
(2) 图中最底部1是这棵树的根,由根生出许多主枝,这些主枝中的第一个数(栉)依次为:5、21、85、……、
,由唯一性,知这些主枝之间不可能有“连理枝”。
(3) 由性质4我们便将能被3整除的数称为树枝的末梢数。
(4) 图中最底部1是这棵树的根,它与其它的数不同的是将1使用[x]法一次后的结果仍然是它本身1。而大于1的奇数在使用[x]法一次后的结果,不一定是它本身(有大有小也有可能等于1)。
4. 构想、定理以及其说明
(一) 构想
一个命题(或定理)虽然它的真实性和非真实性都无法证明,但如果能证明其有无限多个[x]数的真实性存在时,则对其视为成立。
(二) 定理
所有正整数都是[x]数。
(三) 分析说明
由推论知,只须证明所有正奇数都为[x]数即可。然而无法证明[x]数的真实性,通过观察[x]数的树枝图我们也可以把它看成是由根1不断使用逆[x]法来完成的,由推论知,图中的每一个数都是[x]数,主枝上的[x]数有无限多个,在这些数中,除了能被3整除外,同时又可以使用逆[x]法,且知其结果也是[x]数,如用同上方法继续计算,又可得无限多个[x]数,但在[x]数树枝图中,数是否包括整个正奇数,这无法判断。由性质2中的“唯一性”知,要判断一个正奇数是否是[x]数,只能将其不断使用[x]法,通过观察其最后结果是否等于1才可判断,然而正奇数有无限多个,要逐一用上述方法去判断,其是否为[x]数,这难以完成。
由上述分析,可知正奇数中有无限多个[x]数存在,再由推论以及“构想”知定理,故推得“3x + 1”为真。