1. 引言
设f和g是区域D内的两个亚纯函数,a是任意一个复数。若当
时,有
,我们记为
,
如果
且
,我们记为
,并且称f与g在D内分担a,或称f与g在D内IM分担a (不计重数) [1] 。
设
为区域D内的解析函数,
是非负整数。
,
,
,
我们称
为f的微分单项式,称
为
的权,并且
为
的次数。
为f的微分单项式,
为f的微分多项式,
,
分别为
的权和次数,并且
。
1959年,W. K. Hayman [2] 证明了以下结果。
定理A 设k为正整数,f为复平面C上的非常数亚纯函数。则f或
至少有一个零点。如果f是超越的,则f或
有无穷多个零点。
1979年,顾永兴 [3] 证明了W. K. Hayman提出的与定理A相关的正规猜想。
定理B 设k为正整数,F为复平面D内的亚纯函数族。若对于定义在D内的任意
,有
和
,则F在D上正规。
2000年,方明亮与洪伟 [4] 推广定理B,证明了下述结果。
定理C 设
为正整数,
是满足
的一个微分多式,F为区域D内的亚纯函数。如果对于任一的在D内的
,f的零点重级至少为
,且
,
则F在D上正规。
2012年,孙承雄 [1] 从分担值的角度改进了定理C,证明了如下正规定则。
定理D 设k,q至少为2且为正整数,F为区域D内的一族亚纯函数,如果对任一的函数
,f的零点重级至少为
,
为f的微分多项式,并且
,若对任意一组函数
,
与
在D内分担1,则F在D内正规。
一个很自然的问题,定理D中的
能否替换为一般的微分多项式
?本文利用Pang-Zalcman引理进行讨论,证明了下述定理。
定理1.1 设
是正整数,F为D内的一族亚纯函数,如果对任一的函数
,f的零点重数
。
为f的微分多项式且
。若对任意一组函数f,
,
与
在D内分担1,则亚纯函数F在区域D内是正规的。
2. 引理
引理2.1 [5] (Zalcman引理)设
,F是单位圆盘
上的一簇亚纯函数,对任一的函数
,f的所有零点重数大于等于k;如果有
,当
时,
,则F在
的任意邻域内不正规的充分且必要条件为有点列
,函数列
,正数列
,使得
在复平面C上按球面距离内闭一致收敛至一个非常数的亚纯函数
,并且g的级小于等于2,并且
,其中
。
引理2.2 [1] 设f为一个有穷级的亚纯函数,k,q大于等于2并且是正整数。若f的零点重数大于等于
,且
,则f恒是常数。
引理2.3 [1] 如果f为一个非常数有穷级的超越亚纯函数,
并且是正整数。若f的零点重级大于等于
,则
至少存在2个不相同的零点。
3. 定理的证明
定理1.1的证明 设D为单位圆盘
,假设亚纯函数F在区域D内不正规。为了一般性,设F在
这一点处不正规。根据引理1可得,有函数列
,点列
,正数列
,使得
在复平面C上按球面距离内闭一致收敛至一个非常数的亚纯函数
,并且h级小于等于2,
的零点重级大于等于
。
根据引理2.2,存在
,使得
,显然
,则存在
,使得
在
内是一个全纯函数。因而对于充分大的n,
在
内全纯,且
在
上一致收敛于
。
为书写简单,记
,则
。所以
.
故
.
又
,
考虑到
在D内解析,则对于充分大的n,我们可以得到
.
由于
,我们得出
在
上一致收敛于0,
故
。
因此我们得到
在
上内闭一致收敛。
若
,则
是常数,因此矛盾;如果
,则根据引理2.2可得,
是常数,因此矛盾。故可得
至少仅存在一个零点。
然后证明
只存在一个零点。若
与
是
的两个不同的零点,则取充分小的
,使得
,且
在
中除
与
外没有其他零点,其中
,
,于是由Hurwitz定理得,对于充分大的j,存在点列
,
,使得
,
。
因为对任意
,
与
在D内分担1,则对任意的
,有
,
。
固定m,令
,有
,
,则
。
因为
的零点没有聚点,所以对充分大的n有
,
。
即
。但这与
,
,且
,矛盾。所以
只有一个零点,与引理2.3矛盾。因此,F在D内正规。定理1.1得证。
4. 结论
本文证明了定理1.1,设
是正整数,F为D内的一族亚纯函数,如果对任一的函数
,f的零点重数
。
为f的微分多项式且
。若对任意一组函数
,
与
在D内分担1,则亚纯函数F在区域D内是正规的。主要是将定理D中的
替换为一般的微分多项式
。以此基础进行了该定理的证明。
基金项目
国家自然科学基金资助(11961068)项目名称:亚纯函数的正规族及其应用。
NOTES
*第一作者。
#通讯作者。