1. 引言
在计算机辅助设计领域,细分方法是一种强大的工具,它通过简单的几何规则和拓扑规则,将粗糙的网格加细连接,获得更精细的控制网格,提供更精细、更复杂的模型。随着计算机技术的进步和图形处理能力的提升,细分方法在计算机图形学、三维建模、动画设计中应用越来越广泛。
根据拓扑规则的不同,细分格式可分为两大类:基本型细分 [1] 和对偶型细分 [2] 。此外,根据细分后生成的极限曲线是否通过初始控制顶点,又可分为逼近型细分和插值型细分。在基本型细分中,k + 1层的控制网格上的顶点除一部分新顶点外,第k层的控制顶点中会通过与周围顶点的线性组合被磨光。相比之下,对偶型细分格式可以视为顶点的分裂过程,第k层的控制顶点消失,产生更多k + 1层控制顶点。典型的插值型细分通常指逐步插值型细分,即第k层的控制顶点在磨光得到k + 1层的控制网格时得以保留下来且保持不变。与之相对的是逼近型细分,其第k层的控制顶点不会保留至k + 1层。因此,传统的插值型细分格式可以看作是逼近型细分。
近年来,一些学者对对偶型细分的极限曲线能否插值控制多边形进行了探讨。2018年,Deng等人 [3] 发现,当n趋近无限时,2重2n点对偶型细分格式的极限曲线可以插值闭合的初始控制网格。2019年,Romani [4] 正式提出了对偶插值型细分的概念,并给出一个构造4重对偶插值型细分的算法。2020年,Romani和Viscardi [5] 详细描述了任意重数曲线对偶插值型细分的特性,并提供了相关构造方法,推动了新型对偶插值型细分格式的发展。2022年,Gemignani等人 [6] 给出了对偶插值型细分需要满足的代数条件,并给出了基于多项式方程求解的构造性算法。2023年,Viscardi [7] 探讨了偶数重和奇数重对偶插值型细分的特点,指出奇数重对偶插值型细分与经典基本型插值型细分之间的关系。目前,关于对偶插值型细分的研究仍相对有限。本文介绍了一种新的四重九点对偶插值型细分格式,该格式具有包含一个可变参数,有较高的灵活性,当参数取定在特定范围内时能达到C3光滑。文献 [6] 中的例2细分格式是此格式的一个特例。当参数取特定值时,该格式可以有更高的Hölder指数。
2. 预备知识
给定初始控制点集
通过不断加入新点来构造细分曲线,设
为第
次细分后的控制顶点集合,则m重细分格式可表示为
其中
称为掩模。插值细分格式的一般形式为
若m重细分格式S一致收敛,则其掩模a满足
(1.1)
引理2.1 [8] 若m重细分格式S的掩模a满足(1.1)式,则必存在一个细分格式
(称为S的一阶差分格式),满足
其中,
,
。细分S是一致收敛当且仅当
对任意初始控制网格
都收敛到零函数。
一般地,将S的n阶差分格式记为
,其掩模为
,则
的生成多项式为
.
引理2.2 [8] 若m重细分格式S的掩模
及差分格式
存在,且
对任意初始控制网格
都收敛到零函数,则m重细分格式S是
连续的。
为证明细分S是
连续的,依据引理2.2,只需证明
阶差分细分
存在,并存在一个正整数L满足
,其中
,
.
引理2.3 [9] 将数据
与参数值
相关联,其中
是对应的参数平移。则一个收敛的细分格式
关于该参数化再生d次多项式当且仅当对
,
其中
,I为虚单位。
3. 一种新的四重九点细分格式
下面我们给出四重九点细分格式的加细规则如下
(3.1)
其中
为掩模,满足
。
到
依次为
当
时得到对应的是 [6] 例2格式。
3.1. 光滑性分析
在本节中根据引理2.2给出由细分格式(3.1)生成的极限曲线的收敛性和光滑性的条件并进行证明。
四重九点细分格式(3.1)的生成多项式为
定理3.1 当参数
满足
时,细分格式(3.1)是C0连续的;当
时,细分格式(3.1)是C1连续的;当
时,细分格式(3.1)是C2连续的;当
时,细分格式(3.1)是C3连续的。
证明:对原函数一阶差分细分序列分组求和得到
经Mathematica [10] 求解不等式
可得
。由引理2.2知此时是C0连续的,即是收敛的。
经Mathematica求解不等式
可得
,由引理2.2知此时是C1光滑的。
经Mathematica求解不等式
的解是
,由引理2.2知此时是C2光滑的。
若要验证该格式具有C3光滑性,需找到正整数L使得
。经实验发现当
时均无解。当
时,
的范围是
;当
时,
的范围是
;当
时,
的范围是
。由引理2.2知此时是C3光滑的。
3.2. 多项式再生性
在本节中根据引理2.3讨论细分格式(3.1)生成多项式的再生性。
定理3.2 四重九点细分格式(3.1)的多项式再生次数是5次。
证明:通过对该细分生成多项式
求一阶导,代入
得
计算易得
,
,
,
,
。
,但
且
,
,
。由引理2.3可知细分格式(3.1)的最大多项式再生次数为5次。
3.3. Hӧlder指数
在本节中,我们研究随着
变化时,细分格式对应极限函数Hӧlder指数的变化规律。计算采用了Matlab程序包ttoolbox工具箱 [11] [12] 。图1展示了当
在−0.3至0.3变化范围内,细分格式的极限函数的Hӧlder指数变化情况。结果表明,Hӧlder指数先随着
增加而增大,随后又逐渐减小。图2则详细描绘了Hӧlder指数在极值点附近的变化趋势。图中红色点是文献 [6] 中特例
时的情形,此时Hӧlder指数曲线为3.05087。以0.00025为步长,在−0.005到0.025区间内进行了搜索,发现当
时,Hӧlder指数达到最大值3.0547,大于3.05087。
![](//html.hanspub.org/file/25-1252267x96_hanspub.png?20240306083844121)
Figure 1. Hӧlder exponential curve of dual interpolation subdivision scheme (3.1)
图1. 对偶插值细分格式(3.1)的Hӧlder指数曲线
![](//html.hanspub.org/file/25-1252267x97_hanspub.png?20240306083844121)
Figure 2. Dual interpolation subdivision scheme (3.1) curve near the maximum value of Hӧlder exponent
图2. 对偶插值细分格式(3.1) Hӧlder指数极大值附近的曲线
3.4. 数值算例
![](//html.hanspub.org/file/25-1252267x99_hanspub.png?20240306083844121)
![](//html.hanspub.org/file/25-1252267x98_hanspub.png?20240306083844121)
![](//html.hanspub.org/file/25-1252267x101_hanspub.png?20240306083844121)
![](//html.hanspub.org/file/25-1252267x100_hanspub.png?20240306083844121)
Figure 3. Control polygons of two polylines. The left column is subdivided (
) once, and the right column is subdivided (
) three times
图3. 两个折线的控制多边形。左列细分(
) 1次,右列细分(
)三次
图3给出了细分格式(3.1)在
时细分一次和三次的效果。左列两幅折线图展示了初始控制网格(以蓝色表示)及其经过一次细分后的结果(以红色表示)。右列的两幅图像则展现了经过三次细分后的控制网格。由于采用了四重细分格式,控制顶点的数量呈现出快速增长的趋势,三次细分后的控制点变得相对密集。此外,观察三次细分后的图像,可以发现原始控制网格在视觉上完全落在极限曲线上。这表明,尽管细分格式(3.1)不是逐步插值型的,但它能够在有限几次加细的情形下就可以达到近似插值的效果。
基金项目
国家自然科学基金(No. 61502217),辽宁省教育厅科研项目青年项目(LQ2020020)。