1. 引言
压缩感知是由Candès,Donoho和Tao等提出的一种全新的基于稀疏信号的采样理论,被广泛应用于医学成像、光学成像、雷达探测等诸多领域,目的是从较少的测量
中恢复一个较为稀疏的信号
,其中
是一个测量矩阵。实际应用中为了能够合理快速地重构信号,我们接触到的第一个方法是
最小化方法 [1] ,即:
(1)
然而这个方法是一个非确定多项式难度问题(NP-hard),因为
范数是一个凸函数,进而学者Candès等人想到用
最小化法来对
最小化进行凸松弛 [2] ,即:
(2)
该模型灵活地将多个子问题的优化问题转化为凸优化问题,在理论研究的基础上,学者们得到了在测量矩阵满足限制等距性、相干性等特性的条件下,对稀疏信号进行稳定恢复和鲁棒恢复的充分条件。随后,Jacques等人提出了更加一般的
范数模型,用于处理含噪信号的重构 [3] ;在此基础上,Ince等人对信号的部分已知支集已知进行研究 [4] ,提出了一种基于部分已知支集的稀疏重建方法,并给出了具有部分已知支撑的信号恢复条件,理论结果表明该最小化方法具有稳定性和鲁棒性。近年来,Yin等人提出了
范数模型 [5] ,即:
(3)
文章中Yin等人给出了该模型下精确和稳定恢复稀疏信号的条件,实质性地证明了该模型优于上述提到的几种模型。文章 [6] [7] [8] [9] 中主要利用限制等距性和限制正交性,为
最小化建立了一个改进的充分条件,以保证鲁棒的信号恢复,事实证明,该条件都比之前的条件要好得多。文章 [10] [11] [12] [13] 提出了部分已知支集下的信号恢复条件,给出了最小化方法本身也是非自适应的,在实际示例中可以得出信号最大误差的估计,因此部分已知先验信息对于恢复信号是非常有用的。受到前人研究成果的启发,自然而然地得到在
最小化下,讨论信号恢复是有意义的。文章利用
最小化方法对部分支集已知的信号进行恢复,形成了一个新的信号鲁棒恢复的条件,并考虑噪声下的已知部分支集的信号重建,得到误差估计的上界。
2. 预备知识
在给出文章的主要结论之前,首先介绍由Candès和Tao引入的两个概念 [2] :限制等距性和限制正交性,以及两个重要的引理 [14] 。
定义1 [2] 对所有的s稀疏信号
(即最多有s个非零项),若存在一个最小的常数
使得:
成立,则称矩阵
满足s阶的限制等距性,
是s阶的限制等距常数。
定义2 [2] 对每个s稀疏信号
和t稀疏信号
,若存在一个最小的常数
使得:
成立,则称矩阵
满足
阶的限制正交性,
是
阶的限制正交常数。
引理1 [14] 令
,
,
假设
有不相交的支撑,且
,
,
,则有:
引理2 [14] 假设
,
,
,
,则对所有
有:
3. 主要结论
3.1. 部分支集已知的信号重建
基于已知的几种模型的研究,我们在此基础上考虑以下无约束优化问题:
(4)
其中B取决于噪声的类型。特别地,在无噪声情形下
,特别地有:
(5)
其中T为信号x的部分已知支撑,且
。
下面我们讨论在噪声
和噪声
的情况下,研究关于已知部分支集的信号重建。
定理1 如果信号x的部分已知支撑是T,且
,若矩阵A满足:
(6)
则(4)式的解
和
分别满足:
(7)
(8)
其中
,
,r是残差
,
是r的绝对值中最大的k个项的指标构成的一个指标集,即
是r的最佳k-项逼近,常数:
证明 1)
。
现设定(4)式的解
,
是
的绝对值中最大的k个项的指标构成的一个指标集,
是保留h在
中指标所指引的元素,而令在
之外的指标所指引的元素取0的向量,现假设
,
,
,
。
因为
是(4)式的解,所以有:
(9)
由于
,很容易得到:
(10)
结合式(9)和式(10)整理可得:
(11)
由于
,
,
,式(11)可变为:
(12)
因为
,
故
。
再利用引理1:令
,
,
,则有:
.
进而可以得到:
(13)
由于
(14)
结合式(13)和式(14),整理可得:
两边同时处以
可得:
。
由于条件中的式(6)保证
,所以:
因为
,则从式(12)可以得到:
(15)
引用引理2,其中令
,
,进一步可以得到:
.
因此:
(16)
整理后得:
特别地,在无噪声情形下有:
。类似1)的证明:
(17)
结合式(13)和式(16)可得:
整理后有:
(18)
式(16)和式(18)整理后可得:
特别地,在无噪声情形下有:
定理1得证。
3.2. 高斯噪声
高斯噪声是众多噪声中一种较为特殊的噪声,其观察模型为:
.
假定
是已知的,矩阵A中的列向量均为单位向量,则定义以下两种噪声类型:
;
.
分别对应有 [15] :
;
。
可以看出高斯变量e高概率地位于集合
和
中,根据定理1以下定理显然成立。
定理2 若测量矩阵
满足:
,
对于无约束优化问题(4)有如下结论 [15] :
1)
至少以
的概率满足:
(19)
2)
至少以
的概率满足:
. (20)
4. 小结
文章通过
最小化的方法,将其与信号的部分已知支集结合起来,得到了该模型下信号恢复的一个更精确的条件,并且具体地给出了有界噪声、DS噪声及高斯噪声下的误差估计,对我们以后研究有关
最小化模型下测量矩阵的性质非常有意义。目前关于该模型的下测量矩阵的其他性质研究较少,有待学者们进一步研究。
NOTES
*通讯作者。