1. 引言
因Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov (BO-ZK)方程有一定的物理背景,研究它的规范解的存在性、稳定性和其它一些性质是一个具有物理意义的问题。
研究二维Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov (BO-ZK)方程:
(1)
其中
是波函数。
表示x-方向上的Hilbert变换,定义为
,
可以得到
(2)
这是因为
表示在x-方向上的
-阶导数算子,它由Fourier变换定义:
,定义能量空间
,赋予范数
已经有不少作者研究过类似的方程,例如V. Georgiev和Y. Li研究了二维质量临界半波方程的非分散解(见文献 [1] ),Y. Bahri和S. Ibrahim研究了半波Schrodinger方程的孤立波解和Cauchy问题 [2] ,J. Bellazzini和V. Georgiev等研究了在单空间维度上四次聚焦半波方程的行波解 [3] ,C. Alysson和P. Ademir研究了在加权各向异性的Sobolev空间中离散的BO-ZK方程的守恒性 [4] ,Nascimento, A. C.研究了BO-ZK方程解的特殊正则性 [5] 。
事实上,在Esfahani等(2015) [6] 的论文中,利用二维各向异性Gagliardo-Nirenberg不等式:
,
作者研究了BO-ZK方程(1)规范解的存在性,并证明了当
时,当速度为
时,方程(1)有形如
的非平凡规范解。在Esfahani等(2017) [7] 中,作者研究了各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式中最佳常数C满足的条件。假设Q在无穷远点递减,那么Q应当满足
(3)
这里所说的方程(1)的解,是指保持能量H和质量M守恒的解,
,
,对所有的
(4)
其中
表示解存在的最大时间和
在Jorge等(2005) [8] , Latorre等(2006) [9] 的论文中,方程(1)作为一个模型来描述在薄微导体电迁移介质上解的存在性。BO-ZK方程(1)也可以被视为二维通用的Benjamin-Ono (BO)方程:
(5)
在长型内部重力波中,方程(5)是深层次流体中的模型。
在Esfahani and Pastor (2009) [10] ,Esfahani et al. (2015) [6] 中也证明了,当
时有任意速度的孤立波是非线性稳定的;当
时孤立波是非线性不稳定的。其中,稳定性的定义见定义1。
是方程(3)的“临界值”。如果
满足方程(1)有初始值
,那么
满足方程(1),且有初始值
,对任意的
。如果
表示齐次各向异性Sobolev空间,那么
因此,L2是BO-ZK方程规模不变的Sobolev空间当且仅当
。
根据Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov方程,方程(3)在静态问题上也出现(见 [6] [11] )。注意到如果定义变量
为
(6)
令
可以得到
的极小值点
,那么
是方程(3)的解当且仅当
是泛函
的临界点(极小值点)。在这篇论文中,我们关注基态解的情况。所谓基态解就是极小化泛函
的解,也就是方程(3)的非平凡解。本文研究基态解的存在性,得到以下定理。
定理1:当
时,当
时,存在基态解
极小化以下约束极小化问题:
其中
当
时,当
或
时,不存在这样的基态解。
注记1:由Esfahani等 [6] 的结果,在x-轴和y-轴上方程(3)的基态解Q是对称的,即
,
,对于所有的
。
第二部分给出一些预备知识和几个基本引理:1) 稳定性和轨道稳定性的定义;2) 在L2-次临界情况下,当a满足一定的条件时,能量泛函
可以取到极小值,从而
非空并且是稳定的;3) 在L2-临界情况下,当a满足一定的条件时,
;4) 给出了各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式。其中
的定义由(8)给出。
第三部分证明了在L2-次临界情况下,当a满足一定的条件时,
是非空和稳定的。先证明能量泛函
的下确界的有界性,利用集中紧性原理和Gagliardo-Nirenberg不等式排除解的消失性和二分性,从而得到解是列紧的,推出解的存在性,然后证明解的稳定性。
第四部分证明了在L2-临界情况下,当a满足一定的条件时,
。通过Gagliardo-Nirenberg不等式和极大极小值原理,证明了a在不同的取值范围中,能量泛函
分别为取不到极小值和下无界,从而得到
。
最后,本文给出定理1的证明,在L2-次临界情况下,当a在限定取值范围内时,方程(3)的基态解存在并且是稳定的,从而方程(1)有归一化解;在L2-临界情况下,当a在限定取值范围内时,方程(3)不存在基态解。
本文研究了在L2-次临界和L2-临界情况下BO-ZK方程解的存在性和稳定性,给出了方程在什么条件下存在解、什么条件下解不存在以及解的稳定性。BO-ZK方程在物理学领域有广泛的应用,读者可以在物理学上找到它的应用举例。
2. 预备知识和基本引理
稳定性的定义如下:
定义1:1) 令
,称
是稳定的,如果对于任意的
,存在
,使得如果
满足
,那么在整个定义域上方程(1)的解
存在,有初始条件
,且满足
否则,
是不稳定的。
2) 称
是轨道稳定的,如果它的轨道
是稳定的。
首先,我们考虑L2-次临界情况
。在这种情况下,使用Cazenave和Lions [11] 的方法,来证明一些包含了基态解的轨道的子集是稳定的。为了说明结果,这里引入一些记号。对每个
,考虑以下极小化问题:
(7)
记
为极小化子组成的集合,即
(8)
为研究
-次临界和
-临界情况下基态解的存在性问题,需要研究
是否非空及其稳定性。
定理2:当
时,那么对于任意的
,可得集合
非空并且是稳定的。
定理3:当
时,当
或
时,
。
下面是各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式。
引理1:(各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式)令
,存在常数C使得
(9)
对所有的
。这里的最佳常数C有方程(3)的基态解给出,即
(10)
(见 [7] ,定理1.3)。
引理2:(集中紧性原理)设
是
上的测度序列,即
,
。存在子列
,仍然记为
,使得以下三个条件之一成立:
1) (列紧性)存在序列
,使得对于任意的
存在半径
有以下性质:
对于所有的m;
2) (消失性)对于所有的
,存在
;
3) (二分性)存在
,
,使得对于任意的
存在
和序列
有以下性质:给定
存在非负测度
,
使得
,
使得
,使得
,
。(见 [12] [13] )
引理3:设
,令
是
上的有界序列,使得
对几乎所有的
对于函数
。那么,有
(见 [14] )
3. 次临界的结果
在这部分,研究在(
)次临界情况下方程(3)基态解的存在性和稳定性。用集中紧性原理来证明方程(3)解的存在性,为此要证明消失性和二分性的情形不成立,从而得到列紧性的情形成立。首先,证明能量泛函
的下确界
是负的和有限的。
引理4:对于任意的
,
,有
。
证明:首先,证明
。令
有
。考虑以下
-伸缩变换:
(11)
那么,可得
,
当
时,
。因此,令
充分小以致
可得
。
接下来,证明
。由Gagliardo-Nrenberg不等式(9)和
,有
当
时,
,
。利用Young不等式,可得
当
时,即当
时,
(12)
其中
是最佳常数由(10)给出,
是常数,这不依赖于
。可推出
。证毕。
接下来,证明方程(3)的解满足列紧性,即消失性的情形不成立。
引理5:令
,满足
和
。那么,存在子列
(仍然记为
),序列
和
使得在
中,当
时,
。
证明:根据Holder不等式,有
其中
,第二个不等式是由于
。因此,存在
,这不依赖于
,使得对于所有的
,有
。
对于所有的
,令
那么,由Gagliardo-Nirenberg不等式(9),有
对
求和,有
因此存在
和
,使得
。令
,可得
,
。因此,存在
的子列(仍然记为
),
在
中满足
。而且,由Rellich定理(见 [15] ),有
,因此
。
为了利用集中紧性原理来证明方程(3)解的存在性,下面证明二分性的情形不成立。
引理6:令
,
(
)使得
,那么
,其中
。
证明:令
和
,令
是
的极小化序列。那么
因为
,
。所以
,等号成立当且仅当
。但是这是不可能的,否则的话存在
矛盾,其中第一个不等式由引理4得到。因此,有严格的不等式
(13)
接下来,证明
。假设
,分为两种情况。
情况1:
。在这种情况下,有
情况2:
。在这种情况下,有
.
然后证明方程(3)解的存在性。
引理7:假设
满足
,
。那么,存在
使得
在
中是相对紧的。特别地,
。
证明:根据方程(12),当
时,
在
中有界。因为
,
,这可推出
这可推出
。
这和引理5推出存在
的一个子列(仍然记为
),序列
,
使得在
中
。下证
。令
。由弱下半连续性,有
相反,假设
。由弱收敛性,根据引理3,有:
(14)
(15)
这可推出
(16)
令
,
。因为序列
有界,存在子列
(仍然记为
),
使得
。由(15)式,假设
,推出
和
。由(16)式和引理6有
,
,
,有
矛盾。因此,推出
。
由
的定义,可得
。根据
和(15)式,得到
。这和
在
中的有界性,可推出
。进一步,由弱下半连续性得
因此,得到
。进一步,有
这推出在
中
。证毕。
现在证明定理2。
定理2的证明:由引理7,可得
,即证明了解的存在性。下证
的稳定性。反证:假设
是不稳定的,下面推出矛盾。存在
,序列
,
使得
(17)
(18)
其中
是方程(1)的解,满足
。由方程(17)和守恒法则(4),有
(19)
(20)
根据引理6,存在
的子列(仍然记为
),
,
使得
在
中。 (21)
这可推出
,这与(18)式相矛盾。证毕。
4. 临界的结果
在这一部分,研究方程(3)在临界情况下解的存在性,即
。
引理8:对于每个
,存在
,当
时,有
;当
时,有
。
证明:令
满足
。考虑以下L2-拉伸变换:
,
(22)
那么,得到
,利用各向异性的Gagliardo-Nirenberg不等式(9):
,
其中
。可得
(23)
当
时,可得
。其中C是各项异性Gagliardo-Nirenberg不等式(9)中最佳常数由(10)给出。当
时,
1) 对于每个
,由(23),可得
,
,令
。令
,
,那么
。当
时,有
(24)
所以
,已证
,因此
。
2) 对于每个
,令
,
。因此,
。有
(25)
因此当
时
。证毕。
下证定理3。
定理3的证明:由引理8,1) 当
时,
。
而当
,
时,在(23)式中取
,那么
。所以当
时,
取不到最小值,即
。
2) 当
时,
,其中
。所以对
,
是下无界的,即
。证毕。
定理1的证明:1) 由定理2,当
时,那么对于
,可得集合
非空并且是稳定的,
可以取到最小值,那么方程(3)存在基态解,即方程(1)存在规范解。
2) 由定理3,当
时,当
或
时,
,即
取不到极小值,那么方程(3)不存在基态解,即方程(1)没有规范解。证毕。
参考文献